Curvature of a Curve

주변에 보이는 많은 선 중에는 직선도 있고 휘어진 곡선도 있다. 그럼 수학적으로 곡선이 휘어진 정도를 어떻게 정의할까? 곡선의 각각의 부분에서 휘어진 정도가 다  다르므로, 휘어진 정도는 곡선의 위치에 따라 달라지는 값이 될 것이다. 평면에 놓인 곡선의 기술할 때 보통은 $x,y$ 좌표를 많이 사용하는데, $x$ 방향으로 움직이면서 $y$의 값이 변하는 정도를 재는 것으로 곡선의 휘어짐을 정의할 수 있지 않을까? 직선을 살펴보면 $x$ 축으로 움직이면 $y$의 값이 변하는데, 통상 직선은 휘어져 있다고 이야기하지 않으므로, 이러한 방법은 휘어짐을 정의하기에는 적당하지 않다. 곡선 위의 임의 지점에서 곡선의 휘어짐은 그 지점에서 접선 방향으로 움직였을 때, 접점에서 많이 벗어날 수로 접선과의 차이가 크면 곡선은 많이 휘어졌다는 것은 직관적으로 알 수 있다. 이것을 좀 더 수학적으로 이야기하면 곡선을 따라가면 접선의 방향이 얼마나 변했는가를 재면 곡선이 휘어진 정도를 알 수 있다는 것을 의미한다. 그런데 곡선을 따라갈 때 빨리 갈 수도 또는 느리게 갈 수도 있으므로, 곡선을 따라가는 비율을 고정해야 한다. 가장 간단한 방법은 곡선을 따라 움직이는 거리를 기준으로 접선의 변화가 얼마나 생기는 가를 재면 된다. 곡선의 길이($s$)를 매개변수로 사용하면 곡선 위의 임의 지점에서 접선 벡터는 크기는 항상 1로 주어진다:

$$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2\to \sqrt{(\frac{dx}{ds}{)}^2+(\frac{dy}{ds}{)}^2}=1.$$

곡선의 휘어짐은 곡률이라는 용어를 사용하는데, 엄밀하게 정의하면 곡선의 한 지점에서 곡률은 그 지점에서 접선 벡터

$$\overrightarrow{T}=(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds})$$ 

의 미분계수의 크기로 주어진다:

$$\kappa =|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}|=\sqrt{(\frac{d^{2}x}{d{s}^2}{)}^2+(\frac{d^{2}y}{d{s}^2}{)}^2}.$$

접선 벡터 $\overrightarrow{T}$는 길이가 1이므로 미분한 값은 $\overrightarrow{T}$에 수직하고, 곡선이 안쪽으로 휘어지는 쪽을 가리킨다.  $\overrightarrow{T}$에 수직인 방향의 단위 벡터를 $\overrightarrow{N}$이라 하면(보통 $\overrightarrow{T}$에서 반시계 방향으로 회전된 방향, $\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{N}=0$) $d\overrightarrow{T}/ds$는 $\overrightarrow{N}$에 비례하고 비례항의 크기가 그 지점에서 곡률이다. 

$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=k\overrightarrow{N},\kappa =|k|.$$

즉, 곡률이 클수록 같은 길이를 옮겨갈 때 $T$의 방향 변화가 심하게 일어난다. 주어진 $T$방향에 대해서 곡선이 휘어지는 방향이 오른쪽이나 왼쪽이 될 수 있으므로 $k$는 부호를 가지게 된다. 반지름이 $R$인 원이 있다고 하자(중심=원점, $(R,0)$에서 거리를 재면),

$$x(s)=R\cos (\theta )=R\cos (s/R)$$

$$y(s)=R\sin (\theta )=R\sin (s/R)$$

$$\therefore \kappa =\frac{1}{R}$$

이므로 곡률은 반지름의 역수로 주어진다. 반지름이 작을수록 같은 거리를 움직일 때 접선의 방향 변화가 심하므로 곡률이 더 크게 나타날 것이라는 것은 쉽게 예상할 수 있다. 직선의 경우에는 접선 벡터가 일정하므로 곡률은 당연히 0이다.

 

일반적인 매개변수($t$)인 경우 

$$\overrightarrow{T}=(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds})=\frac{1}{\dot{s}}(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}}(\dot{x},\dot{y})$$ 이므로 (overdot은 매개변수 $t$-에 대한 미분)

$$\kappa =\frac{|\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}|}{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2{)}^{3/2}}.$$

 

하나의 예로 catenary의 경우를 계산해 보자. 매개변수로 표현된 catenary 곡선은 

$$x(t)=a{\sinh }^{-1}(t),y(t)=a\sqrt{1+t^2}(y=a\cosh (x/a))$$

이고, $a$는 장력의 수평성분을 줄의 선밀도와 중력가속도의 곱으로 나눈 양이다. $a$가 증가할수록 줄이 평평해지려는 경향이 있으므로 곡률이 전반적으로 줄어들 것으로 예상할 수 있다. 실제로 곡률을 계산하면 

$$\kappa =\frac{1}{a(1+t^2)}=\frac{a}{y^2}$$

임을 알 수 있다.