Integration along a branch cut-045

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\arctan x}{x}\right)}^{2}dx=\pi \log 2$$

복소함수 

$$f(z)={\left(\frac{\arctan z}{z}\right)}^2={\left(\frac{\frac{i}{2}\log \frac{1-iz}{1+iz}}{z}\right)}^2$$의 경로적분을 고려하자.

$z=\pm i$가 $\arctan (z)$의 branch point 이므로 그림과 같이 cutline을 선택한다: $-\frac{3\pi }{2}\le \arg (z-i)\le \frac{\pi }{2}$

$C_1$과 $C_3$에서 적분은 cutline을 시계방향으로 건널 때 $\log (1+iz)$는 $2\pi$의 위상이 더해짐을 고려하고($\log (1-iz)$는 upper cutline 전후에서 위상변화가 없으므로 $C_1,C_3$에서 적분기여가 없다), $$\arg (1+iz)=-\pi ,\arg (1-iz)=0\text{on}{C}_3$$이므로 $$\begin{array}{c}{\int }_{C_1+C_3}f(z)dz=-{\int }_{C_3}\frac{-\frac{1}{4}(\log |1+iz|+i\pi {)}^2+\frac{1}{2}(\log |1+iz|+i\pi )\log |1-iz|}{z^2}dz\\ +{\int }_{C_3}\frac{-\frac{1}{4}(\log |1+iz|-i\pi {)}^2+\frac{1}{2}(\log |1+iz|-i\pi )\log |1-iz|}{z^2}dz\\ =i\pi {\int }_{C_3}\frac{\log |1+iz|-\log |1-iz|}{z^2}dz(z=iy)\\ =\pi {\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\log |1-y|-\log |1+y|}{y^2}dy(y=1/u)\\ =\pi {\int }_0^1(\log (1-u)-\log (1+u))du=-2\pi \log 2\end{array}$$ $C_{\mathrm{\infty }},C_2$에서 적분은 0에 수렴함을 쉽게 알 수 있다.  따라서 $\oint f(z)dz=0$에서

$$I=\frac{1}{2}{\int }_{C_4}f(z)dz=-\frac{1}{2}{\int }_{C_1+C_3}f(z)dz=\pi \log 2$$