Geometry & Recognition

길이가 $L_0=20$미터 막대를 들고 일정한 속도 $v=\sqrt{3}c/2(\to \gamma =2)$로 앞에 있는 헛간을 향해서 달린다. 헛간의 폭은 ${\ell }_0=10$미터이고 막대의 앞이 헛간의 뒷문에 도달하는 순간 헛간의 양문이 닫히도록 설계되어 있다. 지상에서 볼 때 막대는 길이수축 때문에 $20/\gamma =10m$ 길이로 보이므로 막대가 헛간에 완전히 들어갈 수 있고 그 순간 양쪽 문이 닫히면 가둘 수 있다. 그런데 막대를 미는 사람(막대와 같이 움직이는 관찰자)의 입장에서 보면 헛간이 막대를 향해서 $v$의 속력으로 달려오므로 헛간의 폭이 정지해 있을 때의 절반인 $5m$로 줄어들어 보인다. 그러면 막대가 헛간에 갇히는 것은 불가능하지 않는가?

힌트: 지상계에서는 헛간의 문이 동시에 닫히지만, 막대계에서 보면 헛간은 먼 쪽 뒤쪽 문이 막대 앞이 도달한 순간 닫히고, 헛간의 앞문은 나중에 닫힌다(rear clock ahead effect). 그 시간 차이는

$$\frac{\gamma v{\ell }_0}{c^2}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}c}{2}\times (10m)}{c^2}=\frac{10\sqrt{3}}{c}$$ 그런데 이 시간은 헛간의 앞이 막대의 뒤에 도달한데 걸리는 시간과 같다. 헛간 앞과 막대 뒤의 거리가 $L_0-\frac{{\ell }_0}{\gamma }=15m$이고, 헛간이 $v$로 다가오므로 걸리는 시간은 $\frac{15(m)}{v}=\frac{10\sqrt{3}}{c}$ 임을 확인할 수 있다. 

반박: 그러면 막대 앞이 헛간의 뒷문에 막히므로 막대가 더 이상 움직이지 못하는 것이 아닌가?(막대계에서는 헛간이 더 이상 다가오지 못하는 것). 뉴턴역학에서는 막대가 반발력을 받으면 막대는 강체이므로 막대의 뒤쪽에서 즉각 힘을 감지할 것이지만(뉴턴역학에서 완전 강체에서 음속은 무한대이다), 특수상대성 이론에서는 모든 정보는 광속보다 빨리 진행될 수 없다. 막대 앞이 헛간 뒷문에서 닿아서 휘어지거나 부서지는 정보가 광속으로 퍼진다면 막대 뒤편에서 알아차리는 데 걸리는 시간은 $\frac{L_0}{c}=\frac{20}{c}$인 데, 이 시간은 헛간 앞쪽이 막대 뒤쪽에 도달하는 데 걸리는 시간 $\frac{10\sqrt{3}}{c}$ 보다 더 길다. 즉, 헛간의 앞이 막대의 뒤에 도달하여서 앞쪽 문이 닫히는 순간까지도 막대의 뒤쪽에서는 앞쪽이 휘어지거나 부서지고 있다는 정보를 알 수 없음을 의미하므로 막대의 뒤쪽은 헛간 앞쪽 문이 닫히기 직전 안으로 일정한 속도로 들어갈 수 있다.

$v=c/2$로 달리는 고유길이 $L$인 열차가 있다. 열차 뒤에서 공을 $c/3$로 (열차에 대한 상대속도) 앞쪽을 향해 던진다. 지상 관찰자에게는 공이 열차 앞쪽에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마인가? 공과 같이 움직이는 관찰자가 측정한 시간은 또 얼마일까?

지상관찰자: 지상에서 볼 때 공의 속도는 $u=\frac{\frac{c}{3}+\frac{c}{2}}{1+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}=\frac{5c}{7}$이다. 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_g=L\times \sqrt{1-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}L}{2}$로 보인다. 지상에서 본 공의 상대속도가 $\frac{5c}{7}-\frac{c}{2}=\frac{3c}{14}$이므로 열차 뒤에서 앞까지 가는 데 걸리는 시간은

$$t_g=\frac{L_g}{\frac{3c}{14}}=\frac{7L}{\sqrt{3}c}$$

공과 같이 움직이는 관찰자: 공이 볼 때 열차는 $\frac{c}{3}$로 다가온다. 따라서 공이 보는 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_b=L\times \sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}L}{3}$. 이를 이용하면 공의 출발-도착에 걸리는 시간은 

$$t_b=\frac{L_b}{\frac{c}{3}}=\frac{2\sqrt{2}L}{c}$$ 또는, 공의 출발-도착이 공과 같이 움직이는 관찰차에게는 동일한 위치에서 일어나므로 지상계와 시간지연을 사용하면

$$t_b=\frac{t_g}{{\gamma }_g}=\frac{7L}{\sqrt{3}c}\times \sqrt{1-{\left(\frac{5}{7}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}L}{c}$$

열차 관성계: 열차 내부에서 보면 열차 길이가 $L$이고 공의 속도가 $c/3$이므로 당연히 뒤에서 앞까지 공이 가는데 걸리는 시간은 $$t_t=\frac{L}{\frac{c}{3}}=\frac{3L}{c}$$

다른 방법으로는 공의 관성계와 시간지연 공식을 사용하면 공에 대해서 열차는 $c/3$으로 다가오므로 

$$t_t=t_b\times \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}}=\frac{3L}{c}$$

고유길이가 $L$인 열차가 $v$의 일정한 속도로 터널에 들어가려고 한다. 터널의 고유길이는 $L/\gamma$다. 지상관찰자가 볼 때 열차의 앞이 터널입구에 도착하는 순간 열차 뒤에서 빛을 발사한다. 그리고 지상관찰자는 열차의 앞이 터널에서 나오는 순간 빛이 열차의 앞에 도달하는 것으로 보였다. 열차의 속도는 얼마일까? 지상관찰자 관점과 열차승객의 관점에서 각각 설명을 하면?

풀이: 지상관찰자: 지상관찰자에게는 열차의 길이가 $L/\gamma$로 보인다. 열차의 앞이 터널을 통과하는 데 걸리는 시간은 $$\mathrm{\Delta }{t}_1=\frac{L/\gamma }{v}=\frac{L}{\gamma v}$$ 이 과정에서 빛이 움직이는 거리는 $\text{(열차길이)}+\text{(터널길이)}=L/\gamma +L/\gamma =2L/\gamma$이고, 열차 안에서 발사된 빛의 속도는 지상관찰자에게도 여전히 $c$이므로 빛이 열차 앞에 도달하는 데 걸리는 시간은 $$\mathrm{\Delta }{t}_2=\frac{2L/\gamma }{c}=\frac{2L}{\gamma c}$$ 따라서  $$\mathrm{\Delta }{t}_1=\mathrm{\Delta }{t}_2\to v=c/2$$열차승객: 터널의 길이는 길이수축때문에 $(L/\gamma )/\gamma =L/{\gamma }^2$로 보인다. 지상관찰자에게는 앞이 터널입구에 들어가는 것과 빛의 발사가 동시에 일어나지만, 열차승객에게는 열차가 터널입구에 도착한 후 $\mathrm{\Delta }t=Lv/c^2$만큼 후에 뒤쪽에서 빛이 발사된다 (열차승객이 볼 때 빛이 발사된 시점에 열차 앞은 이미 터널 내부에 있게 된다. 물론 열차 앞이 터널에서 나오는 순간 빛은 열차 앞에 도달한다. 같은 지점에서 동시에 일어난 두 사건은 어느 관성계에서도 동시에 일어난다). 열차 앞이 터널을 통과하는 데 걸리는 시간은 $$\mathrm{\Delta }{t}_1^{\prime }=\frac{L/{\gamma }^2}{v}=\frac{L}{{\gamma }^{2}v}$$ 빛은 열차 앞이 터널 입구에 도달한 시간보다 $Lv/c^2$만큼 지연된 후 발사되므로 $\mathrm{\Delta }{t}_1^{\prime }$은 $$\mathrm{\Delta }{t}_2^{\prime }=\text{(빛이 발사되기까지 지연된 시간)}+\text{(빛이 뒤에서 앞까지 가는 데 걸리는 시간)}$$$$=\frac{Lv}{c^2}+\frac{L}{c}$$와 같아야 한다. 따라서 $$\mathrm{\Delta }{t}_1^{\prime }=\mathrm{\Delta }{t}_2^{\prime }\to v=c/2$$