Geometry & Recognition

Accretion disk 면에서 살짝 위쪽에서 바라본 매우 무거운 블랙홀(인터스텔라에서 나온 블랙홀 가르강튀아(Gargantua)): accretion disk가 토성의 띠처럼 보일 것으로 예상하지만 뒤쪽의 띠에서 오는 빛은 중력렌즈 효과 때문에 디스크 면 위와 아래에서 오는 것처럼 관찰자에게 보인다. (source)

참고문헌: https://arxiv.org/abs/1502.03808

Accretion disk에 수직인 방향에서 보면 우리가 아는 블랙홀의 모습이 나온다.

블랙홀 주변에서 관찰자가 위도(accretion disk를 적도면으로 볼 때)를 따라 움직일 때 보이는 모습(source)

고유길이가 $L_0$인 우주선이 역시 같은 고유길이를 가진 정지한 우주정거장 플랫폼을 일정한 속도로 통과하려 한다. 그런데 우주선의 앞부분에는 폭탄이 설치되어 있어 폭탄이 정거장 플랫폼을 빠져나오는 순간 폭발하도록 되어 있다. 다행히도 우주선의 뒷부분에는 센서가 달려있어 뒷부분이 플랫폼에 들어서는 순간 폭탄의 기폭장치를 끄는 신호를 보낸다.

정거장에서 보면 우주선의 길이가 플랫폼 길이보다 줄어들므로 우주선 뒤쪽이 플랫폼에 들어서는 순간 앞쪽은 여전히 플랫폼 내부에 있으므로 폭탄은 작동하지 않지만 기폭장치를 끄는 센서는 작동하므로 폭발하지 않는다. 한편 우주선에서 보면 플랫폼의 길이가 우주선보다 짧아지므로 우주선의 앞이 플랫폼을 나오는 순간에도 뒤쪽은 여전히 플랫폼에 들어와 있지 않으므로 기폭장치가 꺼지지 않아 결국 폭발한다. 어느 쪽이 맞는가? 틀린 쪽은 어떤 사실을 간과하고 있는가?

속도 $v$로 달리는 고유길이가 $L$인 열차의 앞과 뒤에 동기화된 시계가 설치되어 있다. 열차 뒤 시계가 0시를 가리킬 때 뒤에서 앞을 향해 빛을 쏜다. 이 빛은 열차 앞쪽 시계가 $L/c$일 때 도착한다. 지상에서 이 실험을 지켜보는 관찰자 관점에서도 빛의 발사 때 뒤쪽 시계와 빛 도착 때 앞 시계의 눈금이 $L/c$만큼 차이가 남을 보여라.

힌트: 지상계에서 볼 때 열차 뒤쪽 시계가 0시를 가리킬 때 앞쪽 시계는 $-\frac{vL}{c^2}$를 가리킨다(rear clock ahead effect). 지상계에서 보면 열차의 길이가 $L/\gamma$로 줄어들어 보이므로, 뒤에서 발사된 빛이 앞에 도달하는데 걸리는 시간은 빛과 열차의 상대속도 $c-v$로 줄어든 열차 길이를 가는데 필요한 시간과 같다. 

$$T=\frac{L/\gamma }{c-v}=\frac{L}{\gamma (c-v)}$$

또, 지상에서 볼 때 열차의 시계는 느리게 가므로 빛의 출발-도착에 진행된 (열차 시계의) 시간은

$$T^{\prime }=\frac{1}{\gamma }T=\frac{L}{{\gamma }^2(c-v)}=\frac{L}{c}(1+\beta )(\beta =v/c)$$

따라서 빛을 받았을 때 지상계에서 보이는 열차 앞 시계의 눈금은 

$$T_{\text{front}}^{\prime }=-\frac{vL}{c^2}+\frac{L}{c}(1+\beta )=\frac{L}{c}$$