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충돌 직후 질량중심의 속도는?

Physics/역학 2022. 2. 25. 11:23

가벼운 막대로 연결된 두 물체가 그림처럼 $v 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 속력으로 바닥에 탄성충돌을 한다( $θ = 30 \circ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>θ</mi><mo>=</mo><msup><mn>30</mn><mo>\circ</mo></msup></math>$ ). 충돌 직후 질량중심의 속도는?

1. $17v0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>7</mn></mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$

2. $27v0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>2</mn><mn>7</mn></mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$

3. $37v0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mn>7</mn></mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$

4. $47v0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>4</mn><mn>7</mn></mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$

오른쪽 물체는 언제 바닥에 충돌하는가?

충돌하는 왼쪽 물체를 기준으로 잰 각운동량은(충돌 시 왼쪽 물체가 바닥에서 받은 impulsive force에 의한 토크 기여가 없는 지점) 충돌 직전/직후 보존된다(중력은 non-impulsive이므로 충돌 직전-직후의 각운동량에 영향을 주지 못한다). 충돌 직후 질량중심의 위쪽 방향 속도를 $v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi></math>$ , 시계방향 회전 각속도를 $ω <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ω</mi></math>$ 라 하면,

$Li=Lf: (2m)v0L2cosθ=(2m)(−v)L2cosθ+mL22ω<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>L</mi><mi>i</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mi>f</mi></msub><mo>:</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mfrac><mi>L</mi><mn>2</mn></mfrac><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mfrac><mi>L</mi><mn>2</mn></mfrac><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>m</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>ω</mi></math>$

탄성충돌이므로 충돌 직전과 충돌 직후(cm 이동 + 회전) 왼쪽 물체의 바닥에 대한 상대속도의 크기는 같아야 한다:

$v0=cm-vel+rot about cm=v+ωL2cosθ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mtext>cm-vel</mtext><mo>+</mo><mtext>rot about cm</mtext><mo>=</mo><mi>v</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>ω</mi><mi>L</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi></math>$

둘을 정리하면,

$v=v0sin2θ1+cos2θ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>v</mi><mo>=</mo><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac></math>$

$ω=4v0Lcosθ1+cos2θ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>ω</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mi>L</mi></mfrac><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac></math>$

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물체가 언덕에서 떨어지는 각은?

Physics/역학 2022. 2. 9. 22:39

둥근 얼음 언덕 위에서 출발하는 물체가 얼음 언덕을 떠나는 위치는 수평 속도 성분 $(v x) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>v</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 이 최대가 되는 지점이다. 물체가 받는 수직항력 때문에 속도의 수평 성분은 증가한다. 따라서 수직항력이 사라지게 되면 물체의 수평 성분의 변화가 없어지기 때문에 그 지점에서 최댓값이 된다. 얼음 언덕의 반지름을 $R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>$ 이라면 역학적 에너지 보존에서

$v = \sqrt 2 g R (1 - cos θ) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>v</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn><mi>g</mi><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo></msqrt></math>$ 을 얻으므로 수평 성분은

$v x = \sqrt 2 g R (1 - cos θ) cos θ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>v</mi><mi>x</mi></msub><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn><mi>g</mi><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo></msqrt><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi></math>$

로 주어진다. $d v x / d θ = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>v</mi><mi>x</mi></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 을 찾으면

$cosθ=23(θ=48.19∘)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mo stretchy="false">(</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><msup><mn>48.19</mn><mo>∘</mo></msup><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 으로 주어진다.

얼음 언덕이 놓인 바닥이 매끄러운 경우는 어떨까? 물체가 내려가면 언덕도 왼쪽으로 밀리게 된다. 이 경우 물체가 언덕을 떠나는 각은 어떻게 변할까?

얼음 언덕의 질량=물체의 질량인 경우만 다루자. 언덕이 왼쪽으로 $u <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi></math>$ 의 속력으로 밀릴 때, 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕을 따라 원운동을 하므로 그 접선 속력을 $v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi></math>$ 라 하자. 그러면 수평 운동량 보존에서

$m u = m (v cos θ - u) . <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mo>-</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></math>$

그리고 역학적 에너지 보존에서 (지상계)

$mgR(1−cosθ)=12mu2+12m(u2+v2−2uvcosθ)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><mi>g</mi><mi>R</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>m</mi><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>m</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>v</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>u</mi><mi>v</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$

를 얻는다. 물체가 떠나는 시점에서 언덕은 더 이상 힘을 받지 않으므로 등속운동을 시작한다. 이 시점에서 얼음 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕에서 원운동을 끝내는 시점이다(수직항력=0 $\to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">\to</mo></math>$ 관성계). 따라서 구심력 역할은 중력의 중심성분이 한다.

$mgcosθ=mv2R.<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><mi>g</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>m</mi><msup><mi>v</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mi>R</mi></mfrac><mo>.</mo></math>$

위 3 식을 정리하면

$cos 3 - 6 cos θ + 4 = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 을 얻고, 근은 $cos θ = \sqrt 3 - 1 ∴ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>-</mo><mn>1</mn><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo>∴</mo><mtext> </mtext><mi>θ</mi><mo>=</mo><msup><mn>42.94</mn><mo>\circ</mo></msup></math>$

또는 직접 $v$ 을 구하면

$v = \sqrt{\frac{4 g R (1 - \cos θ)}{2 - \cos^{2} θ}}$

이므로 수평성분 $v \cos θ$ 의 최대가 되는 각을 구해도 같은 결과를 얻는다.

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중력 새총

Physics/역학 2022. 1. 24. 11:45

먼 곳에서 $v$ 의 속력으로 달에 접근하는 우주선이 달(속력: $U$ )의 중력에 의해서 그림과 같은 궤도를 그리면서 움직인다(궤도는 이심률이 매우 큰 타원으로 간주한다). 다시 우주선이 달에서 충분히 멀어졌을 때 속력은 얼마쯤 될까? 단, 달의 질량은 우주선에 비해 매우 크다고 생각할 수 있다.

1. $\approx v$

2. $\approx v + U$

3. $\approx v + 2 U$

우주선의 속력이 증가했다면 누가 에너지를 제공한 것인가?

https://www.youtube.com/watch?v=E01J_uAPM64

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