무거운 용수철이 늘어난 길이는?

질량 $m$인 무거운 용수철에 연결된 질량 $M$인 물체를 힘 $F$를 주어 당기고 있다. 용수철이 늘어난 길이는? 단, 용수철 상수는 $k$이다.

1. $\frac{2m+M}{2k(m+M)}F$

2. $\frac{m+2M)}{2k(m+M)}F$

3. $\frac{m+M}{k(2m+M)}F$

 

자연상태(길이 $=L$)의 용수철에 늘렸을 때 왼쪽에서 $x$만큼 떨어진 지점이 $f(x)$만큼으로 늘어난다면 미소부분 $dx$는 $dx +df$의 길이로 된다. 그리고 미소부분의 용수철 상수는 $k L/dx$이다 (용수철은 짧게 만들면 용수철 상수가 커진다).

용수철이 가속도 $a$로 움직인다면 늘어난 미소부분에 걸리는 장력이 왼쪽 부분과 물체 $M$을 가속시키므로 

$$ T= k\frac{L}{dx} df = kL \frac{df}{dx} =\Big( \frac{m}{L} x +M \Big)a  $$

을 얻는다. 따라서 

$$\frac{df}{dx}= \frac{a}{k} \left( \frac{m}{L^2} x + \frac{M}{L} \right)  ~\Longrightarrow~f(x) = \frac{a }{2k} \Big(m \Big(\frac{x}{L}\Big)^2 + 2M\frac{x}{L} \Big) $$ 

물체와 용수철에 작용하는 외력이 $F$이므로

$$a = \frac{F}{m+M}   \quad   \rightarrow~ \therefore f(L)= \frac{m + 2M}{2k(m+M)} F$$

확인: $m=0$인 경우 늘어난 길이는 $\frac{F}{k}$이어야 한다. 그리고 $m \gg M$인 경우는 $\frac{F}{2k}$이어야 한다.

 

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