공은 얼마나 높이 올라갈까?

질량(선밀도: $\lambda$)이 있는 줄이 매달린 공($M$)을 위로 $v_0$ 쏘아 올린다. 최고점의 높이는 공의 질량에 (줄의 질량이 없는 경우는 최고점은 공의 질량에 무관하다)

1. 무관하다.

2. 의존한다.

떠있는 공+줄 부분에 작용하는 힘:  공의 무게와 줄의 무게, 그리고 바닥의 정지해 있는 줄이 뜨기 위해서는 impulsive force가 필요하다. 만약 질량 $dm$이 속도 $0\rightarrow v$로 변하면 운동량 변화가 $dp = dm(v-0)$이므로 필요한 충격력은 $f = v \frac{dm}{dt}$(위쪽)이다. 따라서 공중에 떠 있는 부분이 받는 반작용(장력) 충격력은 $-f$이다. 

공의 높이가 $y$일 때 공중에 떠 있는 부분에 뉴턴의 운동방정식을 쓰면(위쪽:+)

$$(M+ \lambda y) \frac{dv}{dt}=  \sum F = -(M + \lambda y) g -f$$  

운동량이 $P= (M+ \lambda y)v$이므로 운동 방정식은 다시 

$$\frac{dP}{dt} = -(M+ \lambda y ) g$$

로 쓸 수 있다. (Note: 이는 이미 공중에 있는 부분과 추가되는 $dm$ 부분을 하나의 계로 보므로 충격력은 내력이 되어서 합력에 나타나지 않는다)

 

$P$를 높이 $y$의 함수로 볼 수 있으므로 $\frac{dP}{dt} = \frac{dP}{dy}\frac{dy}{dt} =   \frac{dP}{dy} v = \frac{P}{M + \lambda y}\frac{ dP}{dy}$

$$P \frac{dP}{dy} = -(M+ \lambda y)^2 g$$

적분을 해서,

$$\frac{1}{2}( P^2 - M^2 v_0^2 ) = \frac{g}{3\lambda} (M^3 - (M+\lambda y)^3)$$  

따라서 최고점의 높이는 ($P=0$)

$$y_\text{max} = \frac{M}{\lambda} \left( \sqrt[3]{ 1 + \frac{3\lambda v_0^2}{2Mg}}-1\right)$$

따라서 초기속도뿐만 아니라 공의 질량에도 의존하게 된다. 줄의 질량을 무시할 수 있는 경우인 $\lambda\rightarrow 0$이면

$$y_\text{max} = \frac{M}{\lambda}\left(   1 + \frac{\lambda v_0^2}{2Mg} +... - 1\right) \rightarrow \frac{v_0^2}{2g}$$ 이어서 잘 알고 있는 결과로 수렴한다.

 

그리고 impulsive force 때문에 역학적 에너지는 보존이 되지 않음을 체크할 수 있다.

참고: https://kipl.tistory.com/119

떨어지는 쇠사슬이 바닥에 주는 힘