떨어지는 쇠사슬이 바닥에 주는 힘

사슬(길이=$L$, 질량=$M$)이 수직으로 바닥으로 떨어진다. 다 떨어지는 순간 바닥이 받는 힘은?

1. $Mg$

2. $2Mg$

3. $3Mg$

 

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력에( 바닥의 수직항력) 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분(관심 대상은 떨어지고 있는 부분과 충격력에 의해서 순간 정지하는 미소 질량까지 포함된 계이다. 왜냐면 바닥의 충격력 $f$가 미소 질량에 외력으로 작용하기 때문임)에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2}g{t}^2,m(t)=\lambda (L-y)=\lambda (L-\frac{1}{2}g{t}^2),$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$\frac{dp}{dt}=\sum F_y=mg-f(t).$$

이다. 그리고

$$\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt}=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}=-\lambda g{t}^2+mg$$

이므로 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$-\lambda g^2{t}^2+mg=mg-f(t)⟶f(t)=\lambda g^2{t}^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L⟶t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$f(y=L)=\lambda g^2{\left(\sqrt{\frac{2L}{g}}\right)}^2=2\lambda gL=2Mg.$$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$F_{bot}=f(y=L)+Mg=3Mg.$$

 

 

보다 직관적으로는 사슬의 떨어지는 끝부분이 바닥에 닿는 순간 속도가 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ=dm(v-0)=(\lambda dy)v\to f=\frac{dJ}{dt}=\lambda \frac{dy}{dt}v=\lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2=2gL$ 이므로,  $f=\lambda (2gL)=2Mg$.

 

참고 영상: https://www.youtube.com/watch?v=hoU_9DGMfzs