배가 이동한 거리는?

정지한 배의 왼쪽 끝에 사람이 앉아 있다. 사람이 배의 오른쪽 끝으로 이동한 후 다시 정지한다. 이 과정에서 배는 처음 위치에서 어느 방향으로 이동할까? 단, 배는 물의 저항을 받는데 크기는 속력에 비례한다. (보통 물리 책에는 저항이 없는 경우만 취급하는 경우가 많다)

1. 왼쪽

2. 오른쪽

3. 제자리

4. 정보가 부족하다.

 

물의 저항이 외력으로 작용하므로 계(배+사람)의 질량중심 운동방정식을 쓰면,

$$M\frac{dv_{cm}}{dt} = \sum F_{ext} = - k v_{boat} = -k \frac{dy_{boat}}{dt}$$

로 쓸 수 있다. 양변을 적분하면, 질량중심의 속도는 처음에도 정지했고, 나중에도 정지했으므로

$$LHS=\int_{t_i}^{t_f} M\frac{dv_{cm}}{dt}dt = M[v_{cm}(t_f) - v_{cm}(t_i)]  =0$$

$$RHS = -k \int_{t_i}^{t_f}  \frac{dy_{boat}}{dt} dt = -k [ y_{boat}(f) - y_{boat}(t_i)]$$

이므로 배의 나중과 처음 위치는 같아야 한다. 물의 저항이 없는 경우는 일반적으로 질량중심이 움직이지 않아야 하므로 배는 처음 위치에서 왼쪽으로 이동하게 된다.