물체가 언덕에서 떨어지는 각은?

둥근 얼음 언덕 위에서 출발하는 물체가 얼음 언덕을 떠나는 위치는 수평 속도 성분$(v_x)$이 최대가 되는 지점이다. 물체가 받는 수직항력 때문에 속도의 수평 성분은 증가한다. 따라서 수직항력이 사라지게 되면 물체의 수평 성분의 변화가 없어지기 때문에 그 지점에서 최댓값이 된다. 얼음 언덕의 반지름을 $R$이라면 역학적 에너지 보존에서

$$ v = \sqrt{2gR(1-\cos \theta)   }$$을 얻으므로 수평 성분은

$$ v_x = \sqrt{2gR(1-\cos \theta)} \cos \theta$$

로 주어진다. $dv_x/d\theta = 0$을 찾으면

$$ \cos\theta = \frac{2}{3} \quad (\theta = 48.19^\circ)$$으로 주어진다.

 

얼음 언덕이 놓인 바닥이 매끄러운 경우는 어떨까? 물체가 내려가면 언덕도 왼쪽으로 밀리게 된다. 이 경우 물체가 언덕을 떠나는 각은 어떻게 변할까?

 

얼음 언덕의 질량=물체의 질량인 경우만 다루자. 언덕이 왼쪽으로 $u$의 속력으로 밀릴 때, 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕을 따라 원운동을 하므로 그 접선 속력을 $v$라 하자. 그러면 수평 운동량 보존에서 

$$ mu = m(v \cos \theta - u).$$

그리고 역학적 에너지 보존에서 (지상계) 

$$ mgR (1-\cos \theta) =\frac{1}{2} mu^2 + \frac{1}{2}m (u^2 +v^2 -2uv \cos \theta)$$

를 얻는다. 물체가 떠나는 시점에서 언덕은 더 이상 힘을 받지 않으므로 등속운동을 시작한다. 이 시점에서 얼음 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕에서 원운동을 끝내는 시점이다(수직항력=0 $\rightarrow$ 관성계). 따라서 구심력 역할은 중력의 중심성분이 한다.

$$ mg \cos \theta  =\frac{mv^2}{R}.$$ 

위 3 식을 정리하면

$$\cos^3 - 6\cos \theta +4 =0$$을 얻고, 근은 $$\cos \theta = \sqrt{3}-1 \quad ~~\therefore~ \theta = 42.94^\circ$$

또는 직접 $v$을 구하면

$$v=\sqrt{ \frac{4gR(1-\cos \theta)}{2-\cos^2 \theta}}$$

이므로 수평성분 $v\cos \theta $의 최대가 되는 각을 구해도 같은 결과를 얻는다.