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둥근 얼음 언덕 위에서 출발하는 물체가 얼음 언덕을 떠나는 위치는 수평 속도 성분(vx)이 최대가 되는 지점이다. 물체가 받는 수직항력 때문에 속도의 수평 성분은 증가한다. 따라서 수직항력이 사라지게 되면 물체의 수평 성분의 변화가 없어지기 때문에 그 지점에서 최댓값이 된다. 얼음 언덕의 반지름을 R이라면 역학적 에너지 보존에서

v=2gR(1cosθ)을 얻으므로 수평 성분은

vx=2gR(1cosθ)cosθ

로 주어진다. dvx/dθ=0을 찾으면

cosθ=23(θ=48.19)으로 주어진다.

 

얼음 언덕이 놓인 바닥이 매끄러운 경우는 어떨까? 물체가 내려가면 언덕도 왼쪽으로 밀리게 된다. 이 경우 물체가 언덕을 떠나는 각은 어떻게 변할까?

 

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얼음 언덕의 질량=물체의 질량인 경우만 다루자. 언덕이 왼쪽으로 u의 속력으로 밀릴 때, 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕을 따라 원운동을 하므로 그 접선 속력을 v라 하자. 그러면 수평 운동량 보존에서 

mu=m(vcosθu).

그리고 역학적 에너지 보존에서 (지상계) 

mgR(1cosθ)=12mu2+12m(u2+v22uvcosθ)

를 얻는다. 물체가 떠나는 시점에서 언덕은 더 이상 힘을 받지 않으므로 등속운동을 시작한다. 이 시점에서 얼음 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕에서 원운동을 끝내는 시점이다(수직항력=0 관성계). 따라서 구심력 역할은 중력의 중심성분이 한다.

mgcosθ=mv2R. 

위 3 식을 정리하면

cos36cosθ+4=0을 얻고, 근은 cosθ=31  

또는 직접 v을 구하면

v=4gR(1cosθ)2cos2θ

이므로 수평성분 vcosθ의 최대가 되는 각을 구해도 같은 결과를 얻는다.

 
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