긴 막대 사이에 작용하는 중력은?

무한히 긴 두 막대가 그림처럼 교차하고 있다. 각 막대의 단위 길이당 질량은 $\rho$로 일정하고, 두 막대의 가장 가까운 거리는 $a$이다. 두 막대 사이에 작용하는 중력은?

1. $a$의 제곱에 반비례한다.
2. $a$에 반비례한다.
3. $a$에 무관하다.

이 문제의 차원을 가지는 물리량은 중력상수, 선밀도, 거리 $a$이므로 중력은 이들의 조합으로 써질 것이다.

$$F\propto G^{\delta }{\rho }^{\beta }{a}^{\gamma }$$

양변의 차원이 같아야 하므로 $\delta =1$, $\beta =2$,  $\gamma =0$임을 알 수 있다: $F\propto G{\rho }^2$. 따라서 떨어진 거리 $a$에 무관하다. 물론 $\alpha =0$인 경우는 발산하다. $\alpha$에 대한 의존도는 $\alpha$ 자체가 차원이 없으므로 차원해석으로 구할 수 없고, 직접 적분을 해야하는데 그 결과는 $$F=\frac{2\pi G{\rho }^2}{\sin \alpha }$$

두 번째 질문: 막대의 길이$=L$이 충분히 길지만 $(L\gg a)$ 유한하다면 힘은 무한히 긴 경우에서 약간 벗어난 형태로 표현될 것이다. 벗어난 정도는 어떤 식으로 표현될까?

 

힌트: 구체적인 적분이 필요하지 않고 차원해석만 사용할 수 있으면 답을 추측할 수 있다. 그리고 전기력에 대해서도 같은 질문을 할 수 있다.

 

* https://kipl.tistory.com/473 풀이:

중력 붕괴 상황에서 관여하는 물리량은 중력상수(G), 밀도 ($\rho$), 그리고 별의 크기 ($R$)뿐이다. 따라서 중력붕괴에 걸리는 시간도 이 세 물리량에만 의존할 것이다. 

$$T\sim G^a{\rho }^b{R}^c$$

양변의 차원을 맞추어 보면, $[G]={\mathrm{m}}^3/\mathrm{k}\mathrm{g}.{\mathrm{s}}^2$, $[\rho ]=\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^3$이므로 

$$T\sim G^{-1/2}{\rho }^{-1/2}{R}^0=\frac{1}{\sqrt{G\rho }}$$

이어야 한다. 즉, 중력붕괴에 걸리는 시간은 처음 반지름에 무관하다.