포물체 운동에서 최고점의 자취

[Q1] 일정한 속력으로 발사된 물체는 포물선을 그린다. 이 포물선은 발사각에 따라 모양이 변하게 된다. 그럼 포물선의 꼭지점이 그리는 도형은?

1. 원

2. 포물선

3. 타원

 

간단히 보기 위해서 ($v_0=1, g=1$)인 경우만 보자. 포물체의 자취는

$$x= \cos \theta t, \quad y = \sin \theta t -\frac{1}{2} t^2$$

로 주어지는데 최고점 도달시간은 $t=\sin \theta$이므로 최고점의 좌표는 $x= \sin\theta\cos\theta$, $y=\frac{1}{2}\sin^2 \theta$이다. 이 두식에서 $\theta$을 소거하면,

$$4x^2 + 16 \Big(y- \frac{1}{4}\Big)^2 = 1$$

즉, 타원의 방정식으로 표현된다.

locus.nb

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[Q2] 만약 속도에 비례하는 공기 저항이 도입되는 경우 꼭지점의 자취는 어떻게 변할까?