흔들리는 추의 각진동수는?

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 생긴 구멍을 통해 두 물체 A($m$), B($M$)가 줄로 연결되어 있고 A가 반지름 $r$인 원을 일정한 각속도 ${\omega }_0$로 회전을 한다. 이제 물체 B을 살짝 아래로 당겼다가 놓으면 위-아래로 진동을 하게 된다. 이 진동의 주기를 구하라.

 

힌트: 반지름 $r_0$인 원운동할 때는 장력이 A의 구심력 역할을 한다. 따라서

$$\text{평형상태:}Mg=T_0=m{\omega }_0^2{r}_0$$

반지름이 $\mathrm{\Delta }r$(평형위치에서 B의 변위 증가분으로 $d^2\mathrm{\Delta }r/d{t}^2=a$) 만큼 줄어들었을 때 B의 가속도를 $a$라면 B의 운동방정식은 

$$Mg-T=Ma$$이고 A는 각속도가 변하는데 이 과정에서 각운동량이 보존되므로 변하는 각속도를 구할 수 있다.

$$m{r}^2\omega =m(r_0-\mathrm{\Delta }r{)}^2\omega \to \omega =\frac{{\omega }_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^2}$$

그리고 A가 중심방향의 가속도 $a_A=a+{\omega }^2(r-\mathrm{\Delta }r)$를 가지므로 운동방정식은

$$T=m(a+{\omega }^2{r}_0(1-\mathrm{\Delta }r/r_0))$$

$$=m(a+{\omega }_0^2\frac{r_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^3})\approx m(a+{\omega }_0^2{r}_0+3{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r)$$여기서 $|\mathrm{\Delta }r|\ll r_0$임을 사용했다. $T=M(g-a)$이므로

$$(M+m)a=-3m{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r$$이므로 가속도가 변위의 음수에 비례함을 얻을 수 있고, 이는 단순조화운동임을 의미한다. 그리고 이 단순조화진동의 각진동수는

$$\omega ={\omega }_0\sqrt{\frac{3m}{m+M}}$$

다른 방법으로는 https://kipl.tistory.com/760에서의 결과를 이용해도 된다.

회전하는 물체에 연결된 추의 가속도는?