물탱크 A의 바닥에 구멍을 만들어 물의 빼낸다. 물탱크 B는 A의 구멍과 같은 단면적의 파이프를 연결해서 물을 빼낸다. 탱크 물이 비워지는 시간에 대한 설명으로 맞는 것은?
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물이 채워진 통 옆면 구멍에서 나오는 물줄기는 포물선을 그린다. 구멍의 위치에 따라 포물선의 모양이 달라지지만 이 포물선들에 공통으로 접하는 직선을 찾을 수 있다. 이 공통접선의 기울기는 얼마일까?
1. 30도
2. 45도
3. 60도
수면의 꼭대기를 $y=0$으로 할 때 수면 아래 깊이 $h$에서 나오는 물줄기를 표현하는 곡선은 $y= -h -x^2/4h$이므로 깊이 $h$로 매개화된다. $h + x^2/4h \ge |x|$이므로 물줄기는 항상 직선 $y=-x$의 아래에 놓이고 $x=2h$일 때 등호가 성립하므로 그 지점에서 물줄기는 직선에 접하게 된다.
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물이 가득찬 정사각형 모양의 컵바닥에 구멍을 뚫었을 때 나오는 물줄기의 속력이 $v_0$다. 물이 절반 남았을 때 컵을 45도 기울게 하면 물줄기의 속력은 $v_0$의 몇 배인가?
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동일한 비커에 같은 양의 물을 채운 후 한쪽 비커에는 바닥에 연결된 줄로 탁구공을 완전히 잠기도록 만들었고, 다른 비커에는 스탠드와 줄을 이용해서 쇠공이 바닥에 닿지 않고 물속에 완전히 잠겨 있게 만들었다. 이 두 비커를 그대로 양팔 저울 위에 올리면 어느 쪽으로 기울까? 단, 탁구공과 쇠공의 부피는 같다. (이 문제는 googling을 하면 찾아볼 수 있을 정도로 유명하다)
1. 수평을 유지: 탁구공과 쇠공이 밀어낸 물의 부피가 같아 비커 바닥이 받는 압력도 동일하게 증가하므로
2. 탁구공 쪽: 쇠공은 스탠드가 지탱하여 영향이 없지만 탁구공의 무게는 결국 바닥이 받기 때문에
3. 쇠공 쪽: 부력은 같지만 탁구공에 연결된 줄은 위로 당겨 바닥을 누르는 힘이 감소시키므로
풀이:
각 비커를 정지상태로 만들기 위해 각각의 저울접시가 주는 힘(수직항력)을 구하자.
왼쪽: 탁구공의 질량을 $m$, 받는 부력을 $B_1$이라면 줄에 걸리는 장력은 $T_1 = B_1-mg$이므로 비커가 받는 힘은(양쪽이 동일한 비커이므로 비커 질량=0으로 해도 무방함)
$$ N_1 = W + B_1(reaction)-T_1= W + mg$$
왼쪽 저울접시가 받는 힘은 물(+비커)+탁구공 무게다.
오른쪽: 쇠공이 받는 부력은 왼쪽 탁구공이 받는 부력과 같다: $B_2 = B_1 =\rho_w g V_\text{ball}$
$$N_2 =W + B_2(reaction)= W+ \rho g V_\text{ball}$$
오른쪽 저울접시가 받는 힘은 물(+비커) 무게와 쇠구슬에 작용한 부력의 반작용이다.
따라서
$$N_2 - N_1 = \rho g V_\text{ball} - mg >0$$
왜냐면 탁구공의 무게($mg$)보다 같은 부피의 물무게($\rho g V_\text{ball}$)가 더 무겁기 때문이다. 따라서 수평을 유지하기 위해서는 오른쪽이 더 많이 지탱해야 하므로, 달리 말하며 오른쪽 저울 접시가 더 세게 눌리므로 저울을 오른쪽으로 기운다.
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낚시 줄에 걸린 돌멩이를 배 안으로 올리면 수면의 높이는
1. 올라간다: 돌의 무게가 배에 추가 되어 물을 미는 힘이 증가
2. 내려간다: 돌이 물 속에서 차지한 부피만큼 줄어들어서
3. 변함없다: 물에 떠 있는 배+사람+돌의 무게는 변하지 않았음
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