Geometry & Recognition

물통(바닥접촉 면적 $A$)의 아래에 구멍(단면적: $a \ll A$)이 생기면 물이 빠져나가는데 이때 물통은 물과 반대로 밀리는 힘을 받는다. 물통이 뒤로 밀리지 않으려면 바닥과의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트: 토리첼리 정리에 의해서 바닥 구멍에서 나오는 물의 속도는 수면과의 높이가 $h$일 때, $v=\sqrt {2gh}$이다. 물이 나오는 과정에서 물의 운동량의 변화가 $\Delta P = \Delta m v$이므로 물통이 받는 반작용은 $F = \Delta P/ \Delta t = v \Delta m /\Delta t$이고, 시간당 나오는 물은 $\Delta m/\Delta t= a \rho v$이므로 

$$ F = a \rho v^2$$

이 힘이 정지마찰력 보다 작으면 물통은 움직이지 않는데, 나오는 물의 속력이 제일 빠른 처음 물이 나올 때 가장 크다는 것을 알 수 있다.

$$ F\le \mu (\rho A h)g ~~~\to~~~~ \mu \ge \frac{2a}{A}$$

한쪽 끝이 공중에 떠있는 막대가 부분적으로 물에 잠겨 있다. 물속에 들어가 있는 부분의 얼마인가? 막대의 길이는 $L$, 비중은 $s < 1$이다.

힌트:

밀도가 물의 두 배인 물체를 두 가지 방법으로 물 속에 가라앉혔다. 물이 물체에 작용하는 총수압이 더 큰 쪽은? 단, 물체의 바닥은 물그릇의 바닥과 완전히 밀착되어 있다.

1. A

2. B

3. A = B