물속에 들어가 있는 부분은 얼마인가?

한쪽 끝이 공중에 떠있는 막대가 부분적으로 물에 잠겨 있다. 물속에 들어가 있는 부분의 얼마인가? 막대의 길이는 $L$, 비중은 $s<1$이다.

힌트:

풀이: 막대의 토크에 대한 평형을 고려하자. 회전기준을 pivot으로 잡으면 중력과 부력이 토크에 기여한다. 중력이 만드는 토크는 $${\tau }_W=\rho gV\frac{L}{2}$$

물에 잠긴 비율이 $x$이면 물에 잠긴 부분의 중심은 pivot에서 $(1-x+\frac{x}{2})L=\frac{2-x}{2}L$이므로 부력이 만드는 토크는 $${\tau }_B={\rho }_{w}g(xV)\frac{2-x}{2}L=\frac{1}{2}{\rho }_{w}gVL(2x-x^2)$$ 두 토크의 크기가 같다는 조건에서 ($s=\rho /{\rho }_w$) 

$$x=1-\sqrt{1-s}$$