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길이 L인 균일한 줄(선밀도 λ)의 양끝을 수평으로 일정한 거리만큼 떨어진 벽의 두 지점에 고정하였다. 고정 위치에서 줄이 수평과 이루는 각은 θ이고 줄의 가장 아래는 d만큼 내려가 있다. 줄의 한쪽 끝에서 가벼운 고리가 미끄러지는 운동을 한다.  고리가 처진 줄의 맨 아래에 내려왔을 때 가속도는? 단, 고리는 매우 가벼워서 줄의 처짐에 영향을 주지 않고, 마찰은 무시할 수 있다. 

힌트:  고리가 줄의 맨 아래에 왔을 때 고리에 작용하는 힘은 수직항력과 중력 뿐이고, 이 두 힘의 합력이 구심력 역할을 한다. 따라서 처진 줄의 가장 아래에서 곡률을 구해야 한다. 양끝이 고정된 줄은 catenary 모양을 한다. 줄의 고정 위치에서 줄이 수평과 이루는 각도가 θ이고 줄의 장력이 T0이라면 양끝에서 장력의 수평성분이 줄 전체 무게를 지탱해야 하므로

2T0sinθ=λgL      T0=λgL2sinθ또한 맨 아래에서 장력(수평방향)을 T라면 줄의 수평성분방향의 운동이 없으므로 

T=T0cosθ=λgLcotθ2

줄의 맨 아래지점에서 곡률반지름을 R이라면 그 지점을 중심으로 하는 미소 부분에 작용하는 장력의 수직성분이 그 부분의 무게를 지탱하므로

2Tsindθ2=λRdθ      T=λRg 앞서 구한 장력 T와 비교하면 가장 아래 지점에서 줄의 곡률 반지름이

R=L2tanθ

고리가 맨 아래지점에 도달했을 때 속도는 v=2gd이므로 가속도는 

ac=v2R=4gdLtanθ

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그림과 같이 마찰이 없는 평면에 같은 질량의 3 물체 A, B, C가 줄로 연결되어 있다. B와 C를 연결하는 줄의 길이는 L인데, 처음 A와 B를 연결한 줄 아래로 3L/5만큼 떨어진 위치에서 C가 v0로 운동을 시작한다. B와 C를 연결하는 줄의 길이가 팽팽해진 직후 각 물체의 속도를 구하라. 단, A와 B를 연결하는 줄은 처음부터 느슨하지 않게 연결되어 있다.

힌트: 1. B와 C의 줄이 팽팽해진 직후 A와 B를 연결하는 줄이 늘어나지 않으므로 두 물체의 줄방향(수평방향) 속도성분은 같고(vx),

2. B는 C와 연결된 줄 때문에 줄에 수직방향(아래방향, vy) 성분을 가진다. 그리고

3. C는 줄이 팽팽해진 직후 줄방향 성분(v)은 변하지만, 줄에 수직성분은 변하지 않는다. 그런데 줄에 수직성분은 v=v0sinθ=35v0로 정해진다.

4. B와 C의 줄방향 성분이 같아야 한다.

v=vxcosθ+vysinθ      5v=4vx+3vy

5. 외력이 없기 때문에 수평/수직 방향 운동량이 보존되어야 한다.

수평방향:  mv0=mvx+mvx+m(vsinθ+vcosθ)      16v0=50vx+20v

수직방향:  0=mvy+m(vsinθvcosθ)      25vy+15v12v0=0

세 개의 미지수 vx, vy, v에 3 개의 방정식이 있으므로 이를 풀면

v=34105v0,   vx=421v0,   vy=27v0를 얻는다.

 

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반지름 R인 원형트랙을 돌기 위해서 정지상태에서 출발하는 오토바이가 있다. 원형트랙을 미끄러지지 않고 돌 수 있는 최대속력에 도달하기 위해서는 최소한 얼마나 움직여야 하는가? 오토바이와 트랙과의 정지마찰계수는 μ이다.

힌트: 오토바이가 받을 수 있는 최대힘은 트랙과의 정지마찰력이다. 따라서 가능한 최대가속도는 a=μg이다. 그런데 오토바이는 일정한 속력에 도달하기 전에는 원형트랙을 돌기 때문에 생기는 구심가속도(ac=v2/R) 이외에도 속력을 증가시키기 위해서 접선가속도(at=dv/dt)도 필요하다. 출발시점에서는 접선가속도만 있고 최대속력에 도달하면 구심가속도만 있게 된다. 따라서 최대속력은 μg=v2max/R로 구해진다. 접선방향과 가속도 벡터의 사이각을 ϕ라면 처음에서는 접선가속도 성분만 있으므로 ϕ=0이고, 최대속력에 도달하면 구심가속도 성분만 있으므로 ϕ=π2가 된다.

at=dvdt=μgcosϕ,   ac=v2R=μgsinϕ두 번째 식을 미분하면 μgcosϕdϕdt=2vRdvdt이므로 dϕdt=2vR=2ω=2dθdt여기서 ω는 각속도이고, θ는 회전각이다. 이 식을 출발에서 최대속력에 도달할 시간까지 적분하면Δϕ=2Δθ      Δθ=Δϕ2=π2이므로 출발에서 최대속력에 이르는 동안 움직여야 할 호의 최소길이는 Δs=RΔθ=πR4 

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