Geometry & Recognition

길이 $L$인 고무줄의 한쪽이 벽에 고정되어 있다. 반대편 끝을 당겨서 일정한 속도 $V$로 움직이기 만든다. 끝을 당기는 시점에 고무줄의 끝에 있던 벌레가 벽을 향해서 기어간다. 벌레는 고무줄에 대해서 $u$의 일정한 속력으로 움직인다. 고무줄이 모두 지점에서 균일하게 늘어나는 경우 벌레가 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은?

시간이 $t$일 때 벌레의 위치를 $x(t)$라면, 벌레 위치에서 고무줄이 늘어나는 속도(오른쪽)는 

$$ V \frac{x(t)}{L+Vt} $$

이고, 벌레가 움직이는 속도는 이 속도에서 고무줄에 대해 상대적으로 움직이는 속력 $u$(왼쪽)를 빼면 되므로

$$ v_\text{bug} = V \frac{x(t)}{L + Vt} - u =\frac{dx}{dt}$$

이다. 1차 미분방정식이므로 적분인자 $\exp[ -\int \frac{1}{L/V +t}dt ] = \frac{1}{t + L/V}$을 양변에 곱하면 

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{x(t)}{t + L/V} \right) = -\frac{u}{t + L/V}$$

로 쓸 수 있으므로 벌레의 위치는 

$$ x(t) = (Vt +L)\left(1 - \frac{u}{V} \ln \frac{Vt+L}{L} \right)$$

따라서 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은 

$$ t_\text{wall} = \frac{L}{V} \left( e^{V/u}-1\right)$$

로 주어진다. 고무줄의 늘어나는 속력이 아무리 빨라도 결국에서는 벌레는 벽에 도달할 수 있다. 물론 고무줄 끝이 늘어나는 속도가 커지면 시간이 지수함수적으로 늘어나기는 하지만... 그리고 늘어나는 속력이 매우 작거나 아니면 벌레의 상대속력이 매우 큰 경우에는  $t_\text{wall} \to L /V$로 고무줄의 늘어남에 거의 무관하게 된다.

표면이 매끄러운 반구가 역시 매끄러운 바닥에 놓여있다. 반구의 꼭대기에 물체를 올려 놓은 후 살짝 충격을 주면 물체는 미끄러지는 운동을 시작한다. 물체가 반구의 표면을 떠나는 각도는? 반구가 고정된 경우는 상대적으로 쉬운 문제다.

풀이: 물체가 받는 힘은 중력과 반구가 작용하는 수직항력이고, 반구는 수평방향의 운동만 하고 수평힘은 수직항력 반작용의 수평성분이다. 수직항력과 중력의 표면수직성분이 물체의 원운동을 일으키는 구심력 역할을 하는데, 구심가속도가 속력의 제곱에 비례하므로 물체의 속력이 클수록 더 작은 각에서 떨어질 것으로 예상할 수 있다. 그런데 반구가 움직이면 처음 물체가 가지고 있던 중력위치에너지의 일부가 반구에도 할당이 되므로 물체의 속력이 상대적으로 더디게 늘어나므로 표면에서 떨어지는 각위치가 커질것으로 예상할 수 있다. 이 문제는 뉴턴 방정식을 풀어서 해결할 수도 있지만, 외력이 중력뿐이고 마찰력이 없으므로 운동량 보존과 에너지 보존을 이용하는 편이 더 쉽다. 

물체의 속도를 $v_x$(오른쪽+), $v_y$(아래+)라 하고, 반구의 수평속도는 $V$(밀리는 방향인 왼쪽+)로 하자. 수평방향 외력이 없으므로 운동량의 수평성분은 보존이 되므로 

$$ mv_x = MV$$

반구와 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체가 표면에서 떨어지기 전까지는 표면을 따라 움직이므로 이 관찰자에게 물체의 속도 방향은 접선방향이어야 한다. 이 관찰자가 보면 물체의 속도는 $(v_x + V, v_y)$이므로 반구의 접선방향이 되기 위해서는 $$ \frac{v_y}{v_x + V} =\tan \theta \qquad \to \qquad  v_y = \left( 1+\frac{m}{M}\right) \tan \theta v_x$$

그 다음의 역학적 에너지가 보존되므로 

$$ \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2 ) + \frac{1}{2} MV^2 = mgR (1-\cos \theta)$$

이를 이용하면 $v_x, v_y, V$을 $\theta$의 함수로 구할 수 있다.  $\xi = m/M$일 때

$$ v_x^2  = \frac{2gR(1 -\cos \theta)}{ (1+\xi)(1+ (1+\xi) \tan^2 \theta)}$$

언제 물체가 떠나는가? 물체가 반구 위에 있으면 수직항력의 수평성분때문에 속도의 $x$ 성분이 증가하지만, 일단 반구를 떠나면 수평방향 외력이 더 이상 작용하지 않으므로 $v_x$는 일정한 값이 된다. 따라서 $v_x$가 최대가 되는 $\theta$에서 물체는 반구의 표면을 떠나게 된다. $dv_x^2/d\theta =0$을 열심히 계산을 하면

$$ \xi \cos ^3 \theta - 3 (1+\xi) \cos \theta + 2 (1 + \xi)=0$$

의 근을 찾으면 된다.

$$\cos(\theta) = 2\sqrt{\frac{1+\xi}{\xi}} \cos\left[ \frac{1}{3} \cos^{-1}\left(-\sqrt{\frac{\xi}{1+\xi}}\right) -\frac{2\pi}{3}\right]$$

특별한 경우로 $m=M$이면 $\cos \theta = \sqrt{3}-1$로 $\theta \simeq 42.9^\circ$이고, $m \ll M$이면 잘 알려진 $\cos \theta = 2/3$ 즉, $\theta\simeq 48.2^\circ$이다.

긴 굴뚝이 넘어지는 동영상을 보면 전체가 땅바닥에 충돌하면서 부서지는 것이 아니라 중간에 먼저 부러지는 현상을 종종 볼 수 있다. 그럼 넘어지는 굴뚝의 어느 위치가 가장 부러지기 쉬울까?

수직으로 서 있던 굴뚝이 넘어지는 현상을 분석하기 위해서 굴뚝을 길이 $L$, 질량 $m$, 반지름 $r \ll L$인 기둥형태의 강체로 근사하자.

그러면 수직에서 $\theta$만큼 기울어졌을 때 운동방정식

$$ \ddot \theta = \frac{3g}{2L} \sin \theta$$

은 에너지 보존이나 질량중심의 원운동을 분석하면 쉽게 얻을 수 있다.

넘어지는 굴뚝이 중간에 부러지는 경우를 분석하기 위해서 굴뚝을 임의의 아래-위 두 부분으로 나눈 후 단면에서 윗부분에 작용하는 힘을 분석해 보자. 윗부분이 단면에서 받는 힘은 넘어지는 앞쪽에서는 기둥 아래쪽으로 당기고($T_1$), 뒤쪽은 기둥의 위쪽으로 작용하고($T_2$) (이 두 힘이 만드는 토크가 bending moment가 되어 기둥을 휘게 만든다. 어느 쪽으로 휘는가에 따라 $T_1, T_2$ 방향이 정반대 일 수도 있지만 아래의 분석에는 크게 중요하지 않다) , 그리고 단면에서 shear $F$가 작용해야 된다. 이제 기둥의 아래쪽 길이가 전체의 $\alpha$배만큼이라면 윗부분의 질량은 $m_\text{up}=(1-\alpha)m$, 길이는 $L_\text{up}= (1-\alpha)L$다. 윗부분의 운동은 질량중심이 속도가 변하는 원운동(회전축=바닥, $R= \frac{(1+\alpha )L}{2}$)을 하므로 구심방향 운동과 접선 방향 운동으로 나눌 수 있고, 그리고 질량중심에 대한 회전운동이 있다.

\begin{align} &\text{CM-구심운동:}~~T_2 - T_1 + m_\text{up} g \cos \theta = m_\text{up} a_c \\ &\text{CM-접선운동:}~~ F+ m_\text{up} g\sin \theta = m_\text{up} a_t \\ &\text{회전 w.r.t. CM:} ~~(T_1+T_2)r -F \frac{L_\text{up}}{2} = m_\text{up} \frac{ L_\text{up}^2}{12} \ddot \theta\end{align}

여기서 $a_c = R \dot{\theta}^2$, $a_t = R \ddot \theta$이다. 부러지기 전까지는 중력에 의해서 넘어지므로 $T_2 \approx T_1$임을 알 수 있다. 이 근사를 사용하면 

$$ F + m_\text{up} g \sin \theta = \frac{3R} {2L} m_\text{up} g\sin \theta$$

$$2rT_2 - F \frac{L_\text{up}}{2} \approx \frac{L_\text{up}^2}{8 L} m_\text{up} g \sin \theta  $$

을 얻고

$$ \frac{8rT_2}{mgL\sin \theta} =  \alpha(1- \alpha)^2$$

이다. $T_2$가 클수록 막대가 잘 부러지는데, 최댓값은 $\alpha = 1/3$일 때이다. 즉, 막대가 넘어지는 과정에서 부러진다면 그 지점은 바닥에서 $1/3$만큼 떨어진 지점이 될 것이다.

길이가 $L$이고 질량이 $m$인 번지점프줄에 질량이 $M$인 사람이 매달려 낙하한다. 사람이 경험할 수 있는 최대 가속도는?

1. 에너지 보존을 이용: 줄 자체의 무게에 의한 늘어짐은 무시하자. 처음 역학적 에너지는 줄의 위치에너지만 있고, 줄의 무게중심이 낙하지점에서 $L/4$만큼 아래에 있으므로

$$ E_0 = U_0 = -mg \frac{L}{4}$$

낙하를 시작해서 $y$만큼 내려왔을 때 사람의 속력을 $v$라면, 사람 발에 묶인 줄의 속력도 $v$이고, 반대쪽 고정된 줄의 부분은 속력이 $0$이다. 발과 같이 떨어지는 부분의 길이가 $\frac{L-y}{2}$이므로 운동에너지는

$$ K (y)= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}\frac{m(L-y)/2}{L} v^2$$

줄의 움직이는 부분의 위치에너지는 

$$ U_\text{moving}(y) =  - \frac{m(L-y)/2}{L} g \left(y + \frac{L-y}{2}\right) $$

줄의 정지된 부분(아래로 늘어진 길이= $(L+y)/2$)의 위치에너지는

$$ U_\text{still}(y) = -\frac{m(L+y)/2}{L}g \frac{L+y}{4}$$

이다. 역학적 에너지 보존을 이용하면 ($\alpha = m/M$)

$$ v^2 = gy \frac{ 4L + 2\alpha L -\alpha y}{\alpha L -\alpha y + 2L}$$

이 식을 시간에 미분하면 가속도($a=dv/dt$)를 얻을 수 있는데, 앞서 구한 $v$를 넣어서 정리하면

$$ a = g \left( 1 + \frac{\alpha y (4L+2 \alpha L -\alpha y)}{2(\alpha L -\alpha y+ 2L )^2}\right)$$

예상대로 $da/dm>0$이므로 줄의 질량이 커질수록 가속도는 더 커지고, $da/dy>0, ~~y <L$이므로 내려가는 동안 더 가속도가 커져서 사람이 줄의 길이만큼 내려왔을 때 가장 커진다. 물론 그 이상 내려가면 늘어난 줄의 탄성때문에 사람이 내려가는 가속도가 줄어들어서 결국에는 감속의 단계에 이르게 된다. 

$$a(y=L) = g \left( 1+ \frac{\alpha (4 +\alpha )}{8}\right)$$

이고, 줄의 무게가 사람 무게와 같을 때($\alpha=1$) 최대 가속도는 

$$ a(y=L) = 1.625 g$$

이다.

2. 운동방정식을 이용: 점프를 시작한 후 사람의 발이 묶인 움직일 수 있는 줄의 아래 끝 분은 둥그럽게 굽어지면서 정지를 한다. 이때 속도는 $v$에서 $0$으로 변하는데 평균적으로 완전히 정지할 때까지 평균적으로 $v/2$만큼의 속도를 가진다고 볼 수 있다.  움직이는 부분($m_\text{obj}$)의 질량이 연속적으로 변하므로 운동량 변화를 이용해서 운동방정식을 만들자($dp/dt = F_\text{ext}$).

$$ \left[ (m_\text{obj} + dm_\text{obj}) (v+ dv ) + (-dm_\text{obj})(v/2) \right] - m_\text{obj} v = m_\text{obj} g dt$$여기서

$$m_\text{obj} = M +\frac{m(L-y)/2}{L}, \quad \frac{dm_\text{obj} }{dt} = - \frac{mv}{2L}$$

이를 모두 대입하면

$$a = \frac{dv}{dt} = g + \frac{\frac{1}{2}\alpha v^2}{ \alpha (L-y)+2L}$$

$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dv^2}{dy}$임을 이용하여 적분하면 ($v(0)=0$) 에너지 보존을 이용해서 구한 $v ^2$을 얻고, 이를 다시 $a$식에 대입하면 앞과 동일한 가속도를 얻는다.

그런데 어떻게 중력가속도보다 더 빨리 떨어질 수 있는가?

중간에 녹색줄로 연결된 두 개의 용수철에 물체가 매달려 있다. 빨간 줄과 파란줄은 약간 느슨한 상태로 그림과 같이 연결되어 있다. 줄의 무게는 무시할 수 있고, 또 줄은 늘어나지 않는다고 생각해도 된다. 이제 두 용수철을 연결한 녹색줄을 자르고 난 후 평형에 이르렀을 때 추의 위치는 자르기 전보다

1. 용수철 두 개가 당기므로 위로 올라갈 것이다.
2. 느슨해진 줄이 팽팽해질 때까지 아래로 내려갈 것이다.