Geometry & Recognition

반지름  $R$인 원통에 묶인 줄의 끝에는 질량 $m$인 추가 달려있다. 이 추가 팽팽해진 줄에 수직 하게 $v_0$ 속도로 운동을 시작한다. 이후 줄은 원통을 감게 되므로 추는 결국 원통과 충돌을 한다. 추가 출발하는 각가속도를 구하라.

힌트: 추의 속도와 줄의 장력방향이 수직이므로 장력은 물체에 일을 하지 않는다. 따라서 추의 속력은 일정하다.

줄이 수평과 $\theta$의 각도를 이룰 때 추의 $x$ 좌표는 

$$x=R\sin \theta +(L-R\theta )\cos \theta$$이므로 이를 미분하면 

$$v_x=R\omega \cos \theta -R\omega \cos \theta -(L-R\theta )\omega \sin \theta =-(L-R\theta )\omega \sin \theta$$

그런데 $v_x=-v_0\sin \theta$이므로

$$\omega =\frac{v_0}{L-R\theta }$$

즉, 추는 줄어든 줄이 원에 접촉하는 지점을 기준으로 순간적으로 회전을 하는 운동을 한다. 그리고 각속도가 회전각의 함수로 주어졌으므로

$$\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\theta }{dt}\frac{d\omega }{d\theta }=\omega \frac{d\omega }{d\theta }=-\frac{R{v}_0^2}{(L-R\theta {)}^3}$$이므로 $\theta =0$일 때 각가속도는

$$\alpha (0)=-\frac{R{v}_0^2}{L^3}$$ 

가벼운 막대로 연결된 두 물체 B, C에 그림과 같이 물체 A가 $v_0$로 다가와 정면으로 탄성충돌을 한다. 충돌 후 각 물체의 속력은? 단, 세 물체의 질량은 모두 같다.

힌트:  정면충돌을 하므로 충돌 후 A의 속도성분 $v_1(EE)$는 충돌 전과 나란한 방향이고, B의 속도는 막대방향 성분 $v_2(SE)$와 막대에 수직인 성분 $v_3(NE)$로 분해하자. 충돌 직후에서 막대의 장력에 의해서 C는 $v_2$의 막대방향 속도성분을 가진다. A와 B의 충돌이 탄성적이므로 충돌 전후의 상대속도의 크기가 같아야 한다.

$$v_0-0=\frac{v_2+v_3}{\sqrt{2}}-v_1$$

외력이 없으므로 y축 방향 운동량이 보존되고,

$$0=-\frac{m{v}_2}{\sqrt{2}}+m(-\frac{v_2}{\sqrt{2}}+\frac{v_3}{\sqrt{2}})\to v_3=2v_2$$

또한 x축 방향의 운동량도 보존되므로

$$m{v}_0=m{v}_1+m(\frac{v_2}{\sqrt{2}}+\frac{v_3}{\sqrt{2}})+m\frac{v_2}{\sqrt{2}}\to v_0=v_1+\frac{4}{\sqrt{2}}{v}_2$$

따라서 미지수 $v_1,v_2,v_3$에 식 3개가 주어졌으므로 풀면

$$v_1=-\frac{v_0}{7},v_2=\frac{2\sqrt{2}}{7}{v}_0,v_3=\frac{4\sqrt{2}}{7}{v}_0$$

질량이 같은 두 물체가 그림과 같이 움직인다. 두 물체를 연결하는 줄은 처음 느슨한 상태이다. 시간이 충분히 지난 후 두 물체의 운동에너지의 총합은? 단, 두 물체 사이에 일어나는 충돌 유형은 알 수 없다.

힌트: 충돌이 완전비탄성 충돌이면 충돌 후 두 물체는 같이 움직이므로 질량중심계에서는 정지한다. 충돌이 비탄성 충돌이면 충돌 후 블록 1과 블록 2는 질량중심계에서 반대로 움직이다가 줄이 팽팽해지면 결국 같은 속도로 움직인다. 따라서 질량중심계에서 보면 결국 두 물체는 정지한다. 이는 두 물체의 충돌이 탄성충돌이어도 결국은 줄 때문에 같이 움직이므로 질량중심계에서 정지한다. 즉 충돌의 유형에 상관없이 결국에는 질량중심계에서 정지한다. 질량중심계에서 처음 운동에너지는 환산질량이 $\mu =\frac{m^2}{m+m}=\frac{1}{2}m$이고, 상대속도가 $u=2v-v=v$이므로 $K_i(COM)=\frac{1}{2}\mu u^2=\frac{1}{4}m{v}^2$인데, 충돌 후 시간이 충분히 지난 상태에서는 0이 된다. 즉, $\frac{1}{4}m{v}^2$이 충돌이나 줄이 팽팽해진 과정에서 열이나 소리로 잃어버린 것이다. 이 잃어버린 에너지는 관성계에 무관하므로 원래 관성계(실험실계)에서 잃어버린 에너지와 동일하다.