실린더가 정상상태가 되는 과정에서 잃어버린 운동에너지는?

세 개의 동일한 실린더가 같은 각속도로 회전을 한다. 실린더의 회전축은 모두 동일하다. 실린더의 축을 서로 가깝게 하여 그림의 오른쪽처럼 접촉하게 하였다. 일정한 시간이 흐른 후 세 실린더는 서로 미끄러짐이 없이 그림과 같이 회전을 한다. 이 과정에서 잃어버린 에너지는?

접촉 후 정상상태가 될 때 미끄러짐이 없으므로 각속도의 크기는 모두 같다. 시계방향을 기준으로 할 때 1번의 각속도를 $+\omega_0$라면 2번은 $-\omega_0$, 3번은 $+\omega_0$이다. 접촉과정에서 각각의 실린더의 각운동량이 변하는데 회전관성이 $I$라면 

$$ 1:~~~ I (\omega - \omega_0) = J_{12}$$

$$2:~~~I (-\omega - \omega_0) = J_{21} + J_{23}$$

$$3: ~~~I (\omega - \omega_0) = J_{32}$$

그런데 접촉하는 두 실린더의 접촉면에서 힘은 작용-반작용이므로 방향이 바뀌지만 각 회전축에서 접촉면까지 변위도 반대 방향임과 접촉력에 의한 토크 충격량이 $\vec {J} = \int \vec {r}\times \vec {F}dt$임을 고려하면 $J_{ij}= J_{ji}$이다. 위에 주어진 식을 1+3-2 하면

$$ I(3 \omega - \omega_0 ) = 0~~~\to~~~\omega = \frac {1}{3}\omega_0$$

따라서 

$$ \frac {K_f}{K_i} = \frac {3\times \frac {1}{2} I \omega^2}{3\times \frac{1}{2} I  \omega_0^2} = \frac {1}{9}$$