막대와 같이 회전하는 고리가 끝에 도달했을 때

그림처럼 회전축 가까이에 고리(질량 $m$)가 끼워져 있는 매끄러운 막대(길이 $L$, 질량 $M$)가 있다. 고리가 축 쪽에 있을 대 막대가 ${\omega }_0$의 각속도로 움직인다. 고리는 이후 막대와 같이 회전하면서 막대의 끝쪽으로 밀려나가는데, 막대 끝에 도달했을 때

1. 고리의 속력은?

2. 고리가 막대로 부터 받는 수직항력은?

 

풀이: 각운동량이 보존되므로 고리가 끝에 도달했을 때 각속도 $\omega$는 

$$L_i=\frac{1}{3}M{L}^2{\omega }_0=(\frac{1}{3}M{L}^2+m{L}^2)\omega =L_f\to \omega =\frac{{\omega }_0}{1+3m/M}$$

고리는 회전과 동시에 막대방향으로 나가는 속도(radial velocity$=u$)를 가진다. 역학적에너지 보존을 이용하면

$$\frac{1}{2}\frac{1}{3}M{L}^2\frac{1}{2}\frac{1}{3}M{L}^2{\omega }_0^2=\frac{1}{2}\frac{1}{3}M{L}^2{\omega }^2+\frac{1}{2}m((L\omega {)}^2+u^2)\to u=\frac{L{\omega }_0}{\sqrt{1+3m/M}}$$

이므로 고리의 속력은 

$$v=\sqrt{(L\omega {)}^2+u^2}=L{\omega }_0\frac{\sqrt{2+3m/M}}{1+3m/M}$$

이 순간 막대의 회전각가속도는 막대가 고리에 주는 수직항력을 $N$이라면 막대의 회전축에 대한 운동방정식은

$$-NL=\frac{1}{3}M{L}^2\alpha \to \alpha =-\frac{3N}{ML}$$

고리의 운동방정식은 회전과 동시에 radial 운동을 하므로 가속도는

$$\overrightarrow{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\hat{\theta }$$인데 고리가 받는 radial 방향의 힘은 없고, 접선방향 힘은 수직항력이므로 운동방정식은

$$\ddot{r}=r{\dot{\theta }}^2\text{and}m(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })=N$$이 방정식의 해를 구할 수도 있지만 우리의 관심은 고리가 막대 끝에 도달했을 때($r=L$)이고, 이 경우 $\dot{r}=u$, $\dot{\theta }=\omega$, $\ddot{\theta }=\alpha$이므로

$$N=\frac{2mu\omega }{1+3m/M}=\frac{2mL{\omega }_0^2}{(1+3m/M{)}^{5/2}}$$