반구에서 미끄러지기 시작한 줄의 장력이 최대인 지점은?

반지름 $R$인 반구의 꼭대기부터 길이 $\ell$인 줄이 걸쳐 있게 잡고 있다가 놓았다. 운동을 시작하는 시점에 줄의 어느 부분에 걸리는 장력이 가장 클까? 단, 마찰은 없고, 줄의 단위길이당 질량은 $\lambda$이다.

풀이: 줄에 걸리는 중력이 반구의 중심에 대한 토크를 만들어 줄이 미끄러지게 한다. 각 $\theta$ 근처의 미소 부분에 작용하는 중력이 만드는 토크가 

$$  d\tau = (g dm \sin \theta) R$$

이고,  미소질량이  $dm = \lambda R d \theta$이므로 다 더하면

$$ \tau = \int_0^{\ell/R} \lambda g R^2 \sin \theta d \theta = \lambda g R^2 \left ( 1- \cos \frac {\ell}{R}\right)$$

줄의 회전관성은 $I = m R^2 = \lambda \ell R^2 $이므로 회전각가속도는

$$  \alpha =\frac {\tau}{I} = \frac {g}{\ell}\left( 1- \cos \frac {\ell}{R}\right)$$

다시 미소 부분에 작용하는 접선방향의 가속도는 양끝에서 장력의 차이와 중력의 접선성분이 있다. 접선방향 운동방정식은

$$\sum F_t = dT +dm g \sin \theta  = dm a,~~~a=R\alpha$$

$$\to ~~~ dT = \lambda R d \theta (a - g\sin \theta)$$

을 얻는데 장력의 최댓값은 $dT/d\theta=0$인 위치다. 즉,

$$\frac {dT}{d\theta} = \lambda R (a- g \sin \theta) =0$$에서

$$\sin \theta = \frac {a}{g} = \frac {R}{\ell} \left( 1 - \cos \frac {\ell}{R}\right)$$

줄의 짧은 경우 $\sin \theta\approx \theta$, $\cos \frac {\ell}{R}\approx 1-\frac {1}{2}( \frac {\ell}{R})^2$이므로

$$\theta \approx \frac {\ell}{2R}$$

을 얻는 데 줄의 중간지점에서 장력이 가장 큼을 알 수 있다.