Geometry & Recognition

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 생긴 구멍을 통해 두 물체 A($m$), B($M$)가 줄로 연결되어 있고 A가 반지름 $r$인 원을 일정한 각속도 ${\omega }_0$로 회전을 한다. 이제 물체 B을 살짝 아래로 당겼다가 놓으면 위-아래로 진동을 하게 된다. 이 진동의 주기를 구하라.

힌트: 반지름 $r_0$인 원운동할 때는 장력이 A의 구심력 역할을 한다. 따라서

$$\text{평형상태:}Mg=T_0=m{\omega }_0^2{r}_0$$

반지름이 $\mathrm{\Delta }r$(평형위치에서 B의 변위 증가분으로 $d^2\mathrm{\Delta }r/d{t}^2=a$) 만큼 줄어들었을 때 B의 가속도를 $a$라면 B의 운동방정식은 

$$Mg-T=Ma$$이고 A는 각속도가 변하는데 이 과정에서 각운동량이 보존되므로 변하는 각속도를 구할 수 있다.

$$m{r}^2\omega =m(r_0-\mathrm{\Delta }r{)}^2\omega \to \omega =\frac{{\omega }_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^2}$$

그리고 A가 중심방향의 가속도 $a_A=a+{\omega }^2(r-\mathrm{\Delta }r)$를 가지므로 운동방정식은

$$T=m(a+{\omega }^2{r}_0(1-\mathrm{\Delta }r/r_0))$$

$$=m(a+{\omega }_0^2\frac{r_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^3})\approx m(a+{\omega }_0^2{r}_0+3{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r)$$여기서 $|\mathrm{\Delta }r|\ll r_0$임을 사용했다. $T=M(g-a)$이므로

$$(M+m)a=-3m{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r$$이므로 가속도가 변위의 음수에 비례함을 얻을 수 있고, 이는 단순조화운동임을 의미한다. 그리고 이 단순조화진동의 각진동수는

$$\omega ={\omega }_0\sqrt{\frac{3m}{m+M}}$$

다른 방법으로는 https://kipl.tistory.com/760에서의 결과를 이용해도 된다.

세 개의 동일한 실린더가 같은 각속도로 회전을 한다. 실린더의 회전축은 모두 동일하다. 실린더의 축을 서로 가깝게 하여 그림의 오른쪽처럼 접촉하게 하였다. 일정한 시간이 흐른 후 세 실린더는 서로 미끄러짐이 없이 그림과 같이 회전을 한다. 이 과정에서 잃어버린 에너지는?

접촉 후 정상상태가 될 때 미끄러짐이 없으므로 각속도의 크기는 모두 같다. 시계방향을 기준으로 할 때 1번의 각속도를 $+{\omega }_0$라면 2번은 $-{\omega }_0$, 3번은 $+{\omega }_0$이다. 접촉과정에서 각각의 실린더의 각운동량이 변하는데 회전관성이 $I$라면 

$$1:I(\omega -{\omega }_0)=J_{12}$$

$$2:I(-\omega -{\omega }_0)=J_{21}+J_{23}$$

$$3:I(\omega -{\omega }_0)=J_{32}$$

그런데 접촉하는 두 실린더의 접촉면에서 힘은 작용-반작용이므로 방향이 바뀌지만 각 회전축에서 접촉면까지 변위도 반대 방향임과 접촉력에 의한 토크 충격량이 $\overrightarrow{J}=\int \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}dt$임을 고려하면 $J_{ij}=J_{ji}$이다. 위에 주어진 식을 1+3-2 하면

$$I(3\omega -{\omega }_0)=0\to \omega =\frac{1}{3}{\omega }_0$$

따라서 

$$\frac{K_f}{K_i}=\frac{3\times \frac{1}{2}I{\omega }^2}{3\times \frac{1}{2}I{\omega }_0^2}=\frac{1}{9}$$

동일한 디스크 두 개의 중심이 가벼운 막대로 연결되어 있고, 앞 디스크는 처음 각속도 ${\omega }_0$로 시계방향 회전을 한다. 이 두 디스크를 바닥에 놓았을 때 앞바퀴와 달리 뒷바퀴에 작용하는 마찰이 충분히 커서 미끄러지지 않고 구르는 운동을 한다. 두 디스크는 처음 질량중심이 오른쪽 가속도를 가지지만 A의 각속도는 감소를 한다. 

1. A에 작용하는 운동마찰력의 방향은 오른쪽: $f_k=\mu mg$
2. B에 작용하는 정지마찰력($f$) 방향은 왼쪽
3. B의 cm에 대한 회전운동(막대의 장력은 토크 기여가 없음): 정지마찰력만 토크에 기여  $$fR=\frac{1}{2}m{R}^2\frac{a}{R}\to f=\frac{m}{2}a$$
4. 계의 수평방향 cm 병진운동(수평방향 외력=마찰력)  $$f_k-f=(m+m)a\to a=\frac{2}{5}\mu g$$
5. 따라서 B에 작용하는 정지마찰력: $f=\frac{1}{5}\mu mg$
6. 바닥의 임의의 한 지점에 대한 각운동량 보존됨을 이용하면(바닥에서 작용하는 수평방향 마찰력은 토크를 만들지 못함) 최종적으로 두 바퀴가 공통으로 회전하는 각속도를 구할 수 있다. $$L_i=L_{A,i}=\frac{m{R}^2}{2}{\omega }_0$$ 같은 각속도로 구르기 시작할 때, 두 바퀴의 질량중심운동과 질량중심축에 대한 회전운동이 각운동량에 기여하므로 $$L_f=\frac{3}{2}m{R}^2\omega \times 2$$ $$\to \omega =\frac{1}{6}{\omega }_0$$