물체가 반구와 다시 접촉을 안할 조건?

매우 미끄러운 반구 꼭대기에 올려진 물체가 있다. 이 물체에 수평방향의 충격을 받아 속도 $v_0$로 움직인다. 이후 물체가 반구에 접촉하기 않으려면 얼마의 속도로 출발을 해야 하는가?

풀이:

물체가 반구에 접촉하지 않으면 물체에 작용하는 유일한 힘은 중력뿐이고, 이 경우 물체는 출발점을 꼭짓점으로 하는 위로 볼록인 포물선을 그린다. $$y= - \frac{g}{2v_0^2} x^2$$ 따라서 이 포물선이 반구와 만나지 않을 조건을 구하면 된다. 포물선의 휘어짐 정도가 원의 휘어짐 정도보다 작으면 만나지 않으므로 두 곡선의 곡률반지름을 비교하면 쉽게 해결할 수 있다.

$$ \text{radius of curvature}= \left| \frac{\left(1+ y'^2 \right)^{3/2}}{y''}\right| = \frac{\left(1+ \left(gx/v_0^2\right)^2 \right) ^{3/2}}{ g/v_0^2}\ge R~~~\forall x>0$$

$$\to~~~ v_0^2 \ge gR $$

물론 운동방정식을 풀어서도 해결할 수 있다.