Geometry & Recognition

구 내부에서 두 지점 간 사이거리의 역수를 구한 후 평균을 내면 얼마의 값을 가질까? 이를 위해서 단위구를 생각하자.

단위구 내부의 임의의 두 위치를 ${\overrightarrow{r}}_1$, ${\overrightarrow{r}}_2$라고 하면 각 위치를 포함하는 미소부피 $d{r}_i^3$가 단위구 내에서 선택될 확률이 $d{r}_i^3/B_1$ ($B_1$=volume of unit ball= $\frac{4\pi }{3}$)이므로 두 지점이 선택될 확률은 $d{r}_1^{3}d{r}_2^3/B_1^3$이다. 두 위치의 사이거리는 $|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|$이므로 거리 역수의 평균은 

$${⟨\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}⟩}_{\text{unit ball}}=\frac{1}{B_1^2}{\iint }_{\text{unit ball}}\frac{d{r}_1^{3}d{r}_2^3}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=?$$

먼저 $r_2$에 대해서 적분을 수행하면, 좌표계는 임의로 잡을 수 있으므로 ${\overrightarrow{r}}_2$의 극좌표를 ${\overrightarrow{r}}_1$을 $z$ 축으로 선택한 경우와 동일하게 잡자. 그러면 cosine 정리에 의해 사이거리 역수는 

$$\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=\frac{1}{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta }}$$이므로 $r_2$ 적분은

$$I_2={\int }_{\text{unit ball}}\frac{d{r}_2^3}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=2\pi {\int }_0^1{r}_2^{2}d{r}_2{\int }_{-1}^1\frac{d\cos \theta }{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta }}$$ 먼저 $\cos \theta$ 적분을 하면,

$${\int }_{-1}^1\frac{d\cos \theta }{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta }}=\frac{|r_1+r_2|-|r_1-r_2|}{r_1{r}_2}$$절대값 기호를 풀기 위해서 $r_1$ 구간을 쪼개서 적분을 하면,

$$I_2=2\pi ({\int }_0^{r_1}\frac{2r_2^{2}d{r}_2}{r_1}+{\int }_{r_1}^{1}2r_{2}d{r}_2)=2\pi (1-\frac{1}{3}{r}_1^2)$$

적분 $I$는 $I_1$이 오직 radial 좌표에만 의존하므로 쉽게 구해진다.

$$I={\int }_{\text{unit ball}}{I}_{2}d{r}_1^3=4\pi {\int }_0^{1}2\pi (1-\frac{1}{3}{r}_1^2)r_1^{2}d{r}_1=\frac{32}{15}{\pi }^2$$

로 얻어지고, 거리역수의 평균은

$${⟨\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}⟩}_{\text{unit ball}}=\frac{1}{B_1^2}{\iint }_{\text{unit ball}}\frac{d{r}_1^{3}d{r}_2^3}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=\frac{6}{5}$$

이 결과는 물리적인 상황을 이용하면 더 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면 균일하게 대전된 전하구의 전기위치에너지는 그 전하구를 구성하는 점전하 사이의 전기위치에너지의 합인데, 두 점전하의 전기위치에너지가 사이거리의 역수에 비례하므로 전하구의 전기위치에너지를 구하면 거리역수의 평균을 구할 수 있다. 균일한 전하구의 전기위치에너지는 대칭성 때문에 위와 같은 복잡한 적분을 하지 않더라도 쉽게 구할 수 있다.

역으로, 전하 $Q$로 대전된 반지름 $R$인 전하구의 전기 위치에너지는 전하구에 포함된 미소점전하 사이의 전기위치에너지의 절반이므로 

$$U_C=\frac{1}{2}\sum _{i,j}\frac{k{q}_i{q}_j}{|{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j|}=\frac{k}{2}{Q}^2⟨\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j|}⟩=k\frac{3}{5}\frac{Q^2}{R}$$로 쓰여짐을 알 수 있다.

이전 포스트에서 타원의 한 초점에서 나오는 빛은 타원에서 반사가 되면 다른 초점으로 모임을 보였다. 타원의 한 지점에서 접선벡터와 입사광선이 이루는 각이 접선벡터와 반사광의 이루는 각과 같음을 의미한다. 이를 물리적으로 증명하자. 그림과 같이 평면에 높인 타원이 있고, 타원의 한 지점에 길이 $L$인 줄을 걸친 후 두 초점을 통과하도록 만든다. 이제 초점을 통과한 줄 끝에 같은 무게의 추를 매단다. 두 추의 무게가 같으므로 추는 움직이지 않는 평형상태이고, 초점에서 매듭까지 거리를 각각 $d_1,d_2$라면 평면 아래로 늘어진 길이가 $L-d_1-d_2$이므로 두 추의 총 중력위치에너지는 $U=(d_1+d_2-L)mg$로 써진다.

그런데 타원상의 임의의 지점에서 $d_1+d_2=\text{const}$이므로 중력위치에너지는 일정하게 된다. 따라서 추의 중력 때문에 줄에 생기는 장력은 타원의 접선방향 성분은 없고 오직 타원의 접선에 수직한 성분만을 만든다(힘은 위치에너지의 그래디언트임). 줄이 매듭에 작용하는 장력(매듭에서 각 초점을 향하는 방향이다)을 각각 ${\overrightarrow{T}}_1$, ${\overrightarrow{T}}_2$라면, ${\overrightarrow{T}}_1+{\overrightarrow{T}}_2$는 매듭 위치에서 타원의 법선방향이어야 한다. 이는 ${\overrightarrow{T}}_1$과 ${\overrightarrow{T}}_2$의 접선성분이 같음을 의미하므로 두 줄이 접선과 이루는 각이 같게 되어 반사법칙을 보일 수 있게 된다.

Euclidean 공간에서 Cauchy-Schwartz inequality는 두 벡터 내적의 크기는 두 벡터 크기의 곱보다 작음을 보여준다. 그러나 Minkowski 공간에서는 부등호 방향이 반대가 된다. 이를 잘 알려진 특수상대성 이론에서의 쌍둥이 역설(역설이라 표현되어 있지만 실제로 역설은 아니다) 예를 이용해서 보이자. 두 쌍둥이 중 A는 지구에서 남아 있고  B는 일정한 속도로 우주여행을 한 후에 다시 지구로 돌아왔을 때 여행을 한 쌍둥이 B가 더 젊다는 것은 특수상대성 이론이 보여준 자연의 법칙의 한 단면이다. 사람이 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 경우 시공간에서 경로는 직선(시공간 벡터)으로 표현이 된다. 그리고 이 직선의 길이는(*Minkowski space 임에 주의) 시공간에서 이 두 지점(event)을 연결하는 직선을 따라 움직이는 사람의 끝 위치에서 나이가 시작에서 보다 얼마나 더 들었는가를 나타낸다. 여행을 떠난 쌍둥이 B의 목적지까지 시공간 벡터를 $\mathbf{a}$, 목적지에서 다시 지구까지 시공간 벡터를 $\mathbf{b}$라고 하면  다시 지구에서 두 쌍둥이가 재회하므로 두 벡터의 합은 지구에 남아 있는 쌍둥이 A의 시공간 벡터 $\mathbf{c}$와 같다.

$$\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$$

여행을 시작해서 끝날 때까지 지구에 남아 있는 쌍둥이 A가 먹은 나이는 $|\mathbf{c}|$, 여행을 한 쌍둥이 B의 나이는 $|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$ (목적지에서 방향을 바꾸는과정이 필요하므로 이보다 약간 더 먹는다). 두 쌍둥이가 다시 만났을 때 지구에 남아 있는 쌍둥이가 더 나이가 들어 있으므로

$$|\mathbf{c}|\ge |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$$

이다. 양변을 제곱을 하면 다음과 같은 역 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다(Mikowski metric의 signature에 선택에 무관하게 만들기 위해서 다시 제곱을 하였다)

$$(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2\ge |\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2$$