막대가 벽에서 미끄러져 내려올 때 접하는 곡선(envelope)

길이 $L$인 막대가 벽과 바닥에 닿은 상태로 미끄러져 내려올 때 중심이 그리는 자취는 반지름이 $L/2$인 원임을 쉽게 알 수 있다. 그럼 막대가 연속적으로 접하는 곡선은 어떤 형태일까?

막대가 수평과 $\theta$만큼 각을 이룰 때 접점의 위치를 $(x(\theta), y(\theta))$라면, 접선조건에서

$$   \frac{y'(\theta)}{x'(\theta) } = -\tan \theta$$ 

이고 막대를 통과하는 직선의 방정식은

$$ \frac{x}{\cos \theta} + \frac{y}{\sin \theta} = L$$

이 두 방정식을 연립하면 답은 쉽게 찾을 수 있다.

$$  x = L \cos^3 \theta , \quad y =L \sin ^3 \theta$$

또는 매개변수 $\theta$를 없애면,

$$ \left( \frac{x}{L}\right) ^{2/3} + \left( \frac{y}{L}\right)^{2/3}=1$$ 마찰이 없는 경우 막대는 바닥까지 벽을 타고 내려가지 못하고 중간에 이탈한다.

stick_sliding.nb

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