Geometry & Recognition

전자기나 중력에서 Poisson 방정식은 전하나 질량분포가 주어질 때 주변에서 퍼텐셜 함수의 결정하는 방정식이다. 전자기를 기준으로 할 때 전하분포 $\rho (\overrightarrow{r})$이 주어진 경우 전기퍼텐션 함수는 

$$\mathrm{\nabla }V=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$

의 해를 구해서 얻을 수 있다. 물론 적당한 경계조건을 주어야 해가 유일하게 결정이 된다. 원점에 놓인 점전하가 있는 경우 Poisson 방정식은

$${\mathrm{\nabla }}^2{V}_{\text{p}}=-\frac{q}{{ϵ}_0}\delta (\overrightarrow{r})$$

이고 이 방정식의 해는 

$$V_{\text{p }}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r}$$가 된다. 역으로 전위를 알면 전하분포를 Poisson 방정식을 이용해서 좀 더 복잡한 전하분포를 구할 수 있다. 원점에 놓인 전기장 쌍극자가 있는 경우 전위함수는 유한한 거리만큼 떨어진 두 반대부호의 점전하에 대해 극한을 취해서 다음과 같은 점쌍극자(point electric dipole)의 전위함수를 얻을 수 있다. 

$$V_{\text{d}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\overrightarrow{p}\cdot \hat{r}}{r^2}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r}}{r^3}$$ 여기서 $\overrightarrow{p}$는 점쌍극자를 특징짓는 쌍극자 모멘트이다. 이 전위함수에 해당하는 전하분포는 어떻게 구할 수 있는가? 우선 양변에 Laplacian을 적용하면 

$$LHS={\mathrm{\nabla }}^2{V}_{\text{d}}=-\frac{1}{{ϵ}_0}{\rho }_{\text{d}}$$

우변은

$$RHS=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{p}_k{\mathrm{\nabla }}^2\frac{x_k}{r^3}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{p}_k{\mathrm{\nabla }}^2{\partial }_k(-\frac{1}{r})=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{p}_k{\partial }_k[4\pi \delta (\overrightarrow{r})]$$이므로

$$\to {\rho }_{\text{d}}=-\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r})$$ 

다음 예로 점전기사극자(point electric quadrupole)가 원점에 놓인 경우를 보자. quadrupole moment가 $Q_{ij}$인 경우 점사극자의 전위는 점쌍극자 전위처럼 적절한 극한과정을 거쳐서 다음과 같이 구할 수 있다.

$$V_q=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{Q}_{ij}\frac{3x_i{x}_j-r^2{\delta }_{ij}}{r^5}$$

그런데 

$${\partial }_i{\partial }_j\frac{1}{r}=-\frac{{\delta }_{ij}}{r^3}+\frac{3x_i{x}_j}{r^5}=\frac{3x_i{x}_j-r^2{\delta }_{ij}}{r^5}$$

이므로 

$$V_q=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{Q}_{ij}{\partial }_i{\partial }_j\frac{1}{r}$$

이고 양변에 Laplacian을 취하면

$$-\frac{1}{{ϵ}_0}{\rho }_q=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{Q}_{ij}{\partial }_i{\partial }_j{\mathrm{\nabla }}^2\frac{1}{r}=-\frac{1}{{ϵ}_0}{Q}_{ij}{\partial }_i{\partial }_j\delta (\overrightarrow{r})$$이므로

$${\rho }_q=Q_{ij}{\partial }_i{\partial }_j\delta (\overrightarrow{r})$$

접지된 매우 넓은 평행판 축전기 사이에 전기쌍극자를 놓았을 때 양쪽 극판에 유도되는 전하는?

힌트: ${\overrightarrow{r}}_0$에 위치한 전기쌍극자의 전하밀도가

$$\rho (\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_0)$$

로 표현된다는 사실과 Green's reciprocity 정리를 이용하기 하자. 전하구성 1은 $-q$, $+q$의 전하밀도로 대전된 동일한 형태의 축전기가 있을 때 전위차가 $V_0$이면, 전위함수는 $$V_1(x)=V_0\frac{x}{d}0\le x\le d$$전하구성 1의 전하는 극판에 몰려있는데 우리가 구하려는 전하구성 2의 극판에서 전위는 접지로 인해 0이므로 

$$\sum \int {\rho }_1{V}_2{d}^{3}x={\int }_{\text{left\_plane}}{\rho }_1{V}_2{d}^{2}x+{\int }_{\text{right plane}}{\rho }_1{V}_2{d}^{2}x=0$$

그에 반해 전하구성 2의 전하는 양극판(${\sigma }_L$, ${\sigma }_R$)과 사이의 전기쌍극자(${\overrightarrow{r}}_0=a\hat{x}$)가 있고, 전하구성 1의 극판 전위는 오른쪽 극판에서 0이 아니므로

$$\sum \int {\rho }_2{V}_1{d}^{3}x=\int [-\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-a\hat{x})]V_1{d}^{3}x+{\int }_{\text{right plane}}{V}_0{\sigma }_R{d}^{2}x$$

$$=\overrightarrow{p}\cdot \hat{x}\frac{V_0}{d}+V_0{q}_R$$

로 주어지므로 

$$q_R=-\frac{\overrightarrow{p}\cdot \hat{x}}{d}$$이고 가우스 법칙에 의해서 

$$q_L=+\frac{\overrightarrow{p}\cdot \hat{x}}{d}$$임을 알 수 있다. 쌍극자가 두 극판에 유도하는 전하는 극판과의 거리에는 무관하고 쌍극자의 orientation에 따라 달라짐을 알 수 있다. 

접지된 도체구 주변에 쌍극자 모멘트가 $\overrightarrow{p}$인 점쌍극자가 놓여있다. 도체구에 유도되는 알짜 전하는?

풀이: 쌍극자의 방향에 따라 도체구에 유도되는 전하분포가 달라질 것으로 예상할 수 있다. 도체구의 반지름이 $a$이고, 구 중심에서 $\overrightarrow{d}$만큼 떨어진 위치에 쌍극자가 있는 경우를 생각하자. 이 상황은 Green's reciprocity theorem을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 우선 전하분포와 전위를 알 수 있는 간단한 경우를 고려하면, 접지가 안된 도체구를 전하 $q$로 대전시킨 경우다. 이 전하분포가 만드는 전위는 도체구 밖에서 점전하의 전위와 같고, 내부에서는 일정한 값 $V_1(a)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}a}$로 주어진다. 그리고 점쌍극자의 전하분포가

$${\rho }_{\text{dipole}}(\overrightarrow{r})=\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ qh=const=p\end{array}}{lim}q(\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})-\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}+h\hat{p}))$$

$$=\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ qh=const=p\end{array}}{lim}-qh\hat{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})$$

$$=-\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})$$로 표현되고, 우리가 구하려는 구성 2에서 도체구는 접지되어 있으므로 

$$\int {\rho }_1{V}_2{d}^{3}x=0$$ 그리고

$$\int {\rho }_2{V}_1{d}^{3}x={\int }_{\text{sphere}}{\rho }_2{V}_1{d}^{3}x+{\int }_{\text{dipole}}{\rho }_2{V}_1{d}^{3}x$$

$$=V_1(a){\int }_{\text{sphere}}{\rho }_2{d}^{3}x+\int (-\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}))V_1{d}^{3}x$$

$$=V_1(a)Q_{\text{sphere}}+\int (\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }{V}_1)\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})d^{3}x$$

$$=V_1(a)Q_{\text{sphere}}-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{d}\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{d}^3}$$

$$\to Q_{\text{sphere}}=\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{d}\frac{a}{d^3}$$