평행판 축전기 외부에서 전기장은?

평행판 축전기가 있다. 두 극판 중심평면상에 있는 외부 한 지점에서 전기장은?

풀이: 

중앙평면에서는 대칭성에 의해서 전기장은  $y$ 성분만 존재한다. 극판전하밀도가 일정할 때,

$$E_y=-2\times \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{upper}}\frac{\sigma dA\sin \theta }{r^2}$$인데 $dA\sin \theta$는 P에서 본 미소면적 $dA$의 정사영이므로 $dA\sin \theta /r^2$은 P에서 본 $dA$의 입체각에 해당한다(정사영은 코사인을 쓰는 것이 좀 더 직관적인데 이렇게 하려면 각도를 극판에 수직한 방향에 대해서 정의하면 된다). 따라서

$$E_y=-\frac{\sigma }{2\pi {ϵ}_0}\mathrm{\Omega }$$

로 쓸 수 있다. $\mathrm{\Omega }$는 P에서 본 위쪽 극판의 입체각이다. 극판에서 멀리 떨어진 지점일 경우(P에서  두 극판 중심까지 거리가 $R$) 

$$\mathrm{\Omega }\approx \frac{A\sin {\theta }_0}{R^2},\tan {\theta }_0=\frac{d/2}{R}\approx \sin {\theta }_0$$이므로

$$E_y\approx -\frac{\sigma Ad}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}=-\frac{p}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}$$여기서 극판 전하에 의한 전기쌍극자 모멘트 $p$는 각 극판을 점전하로 본 근사식 $p\approx \sigma Ad$을 썻다. 이 결과는 극판에서 먼 지점에서는 두 반대 부호의 극판이 만드는 전기쌍극자에 의한 전기장으로 근사됨을 보여준다.