극판에 모인 총전하는?

두 극판이 접지된 평행판 축전기가 있다. 이제 아래 극판의 일부분을 전기적으로 분리한 후 전위가 $V$가 되게 만들었다. 이 상황에서 아래 극판에 모인 총 전하는(접지된 부분+ $V$의 전위가 걸린 부분)?

풀이: Laplace 방정식을 풀 수도 있지만 Green's reciprocity theorem(https://kipl.tistory.com/479)을 이용하자. 우선 같은 극판 구성에서 전위를 구할 수 있는 간단한 경우를 찾으면, 아래 극판 전체가 $+\sigma$, 위쪽 극판 전체가 $-\sigma$로 대전된 경우 일 것이다(위쪽 극판 접지). 이 경우 전위함수는 

$$V_1(z)=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}(d-z)0\le z\le d$$

우리가 구하고자 하는 계에서 아래 극판의 정사각형 내부에 있는 총전하를 $Q_1$, 극판 나머지 부분에 분포한 총전하를 $Q_2$로 하자. 그리고 전위함수가 $$V_2(x,y,z)=\{\begin{array}{cc}V,& |x|\le a,|y|\le a,z=0\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$ 로 주어지므로

$$\int {\rho }_1{V}_2{d}^{3}x=4a^2\sigma V$$

$$\begin{array}{rl}\int {\rho }_2{V}_1{d}^{3}x& ={\int }_{\text{square}}{\sigma }_{\text{square}}(x,y,0)V_1(z=0)d^{2}x\\ & +{\int }_{\text{other}}{\sigma }_{\text{other}}(x,y,0)V_1(z=0)d^{2}x\\ & =(Q_2+Q_1)V_1(0)\end{array}$$

$$\to Q_1+Q_2=4a^2\sigma \frac{V}{V_1(0)}=\frac{4{ϵ}_0{a}^{2}V}{d}$$