현재 피사의 탑은 수직에 대해서 4.7도 정도 기울어졌 있다고 한다. 어느 각도까지 넘어지지 않고 견딜 수 있을까? 

간단히 추정하기 위해서 탑을 균일한 원통형 기둥으로 생각하면 탑의 무게중심을 지나는 연직선이 탑의 맨아래 가장자리를 넘어서는 경우다. 이 경우에 중력이 만드는 넘어지는 토크를 상쇄시킬 방법이 없다(물론 외부에서 줄로 당기면 된다). 따라서 임계각은





피사탑은 높이가 H=55m 지름이 D=7m이므로 임계각은  7.25도이다 

 

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버스가 갑자기 가속을 하면 사람은 넘어질 수 있다. 얼마정도의 가속도에서 넘어질까? 넘어지는 기준은 가속도 방향의 발이 바닥에서 떨어질 조건과 같다(물론 실제상황에서는 몸을 다시 움직여서 안 넘어지려는 시도를 할 수 있지만...여기서는 사람을 딱딱한 강체로 근사한다. 또한 미끄러짐은 생각하지 않는다)



사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심이 바닥에 h높이에 있다고 하자)와 양발에 작용하는 수직항력(두 발의 간격을 d라고 하자)과 차와 같이 움직이게하는데 필요한 마찰력이 있다 (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다). 사람의 자유물체도를 그리면


미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동방정식과 질량중심에 대한 회전방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 f1, f2, N2는 반시계방향으로 회전시키려하고 N1은 시계방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)


미지수는 f1, f2, N1, N2 네개인데 식은 3개여서 미지수가 완전히 결정이 안되지만 수직항력은 구할 수 있다.


발이 바닥에서 떨어지면 수직항력이 0이 되고 넘어지므로, 넘어지지 않기 위해서는 수직항력 <=0 이어야 된다. N1은 항상 양수이므로 N2를 보면, 넘어지지 않기 위해서는 가속도가 


보다 작아야 한다. 질량중심이 낮을수록(h), 두 발을 넓게 벌릴수록(d) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

h=100cm, d=50cm -> amax=2.45m/c^2: 100미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도






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바닥에 놓인 냉장고를 밀면 냉장고는 바닥의 상태에 따라서 미끄러지거나 또는 넘어진다. 



미끄러지는 경우는 미는 힘(수평성분)이 정지마찰력의 최대값보다 더 커야 한다.



미끄러지지 않고 넘어지는 경우는 오른쪽 아래를 회전축으로 넘어지는데, 넘어지기 직전에는 마찰력(수평)과 수직항력(수직)은 오른쪽 끝에 몰린다. 이 회전축을 기준으로 하면 냉장고 무게는 반시계방향의 토크를 만들고, 미는힘은 시계방향을 토크를 만든다(마찰력과 수직항력은 이 회전축에 대해서는 토크를 만들지 않는다). 미는힘에 의한 토크가 중력이 만드는 토크보다 더 크면 넘어진다.





넘어지기 전에는 물체의 밑면이 바닥에 닿고 있는데 이때 마찰력과 수직항력은 어디에 작용할까?


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막대의 양끝을 줄을 이용해서 천장에 평행하게 매달았다. 만약 한쪽 줄을 자르면 막대의 한쪽 끝은 아래로 떨어진다. 


끊어진 직 후에는 중력때문에 순간적으로 왼쪽 끝을 회전축으로 회전을 하게 된다. 그러나 이 순간 회전각속도는 없기 때문에(회전을 막 시작하기 때문임) 구심력이 필요하지 않아 수평방향의 힘은 필요없다.


(1) 줄을 자른 직전의 줄의 장력은?

- 각 줄은 막대 무게의 절반을 부담한다.


(2) 줄을 자른 직후의 잘리지 않은 줄에 걸리는 장력은(막대가 여전히 나란한 상태일 때)?

-막대에 작용하는 힘: 장력(윗방향), 중력(아래방향);

-중력이 막대의 왼쪽 끝을 축으로 회전시키려는 토크를 만든다.


왼쪽 끝에 대한 회전방정식(중력만 시계방향 토크를 만듬)

질량중심에 대한 회전방정식을 고려하면(장력만 시계방향 토크를 만듬)

두 회전방정식을 비교하면 


즉, 장력이 처음보다 절반으로 줄어든다(오른쪽 줄이 없어지면 전체 질량을 다 견뎌야 할 것 같지만, 실제로는 원래보다 절반으로 줄어든다)


점검:  질량중심의 운동을 보면 장력과 중력이 작용하므로


그런데 회전운동에서 회전각속도를 구할 수 있으므로 이것을 이용하여 구한 질량중심 가속도와 비교하면 앞의 계산이 옳음을 체크할 수 있다:



이후 막대는 어떻 방식으로 움직이게 될까?




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두 개의 30cm 자를 준비하고 하나는 끝에 지우개를 붙인다. 두 자를 벽에 똑바로 세운 후 살짝 기울려 넘어지게 할 때 어느 자가 더 빨리 바닥에 도달하는가?

물리법칙을 이용해서 정량적으로 설명할 수 있는가?



자가 넘어지는 것은 자(+지우개)의 무게에 의한 토크때문이다. 그러나 토크를 주더라도 물체의 회전관성에 따라 회전속력의 변화율이 달라진다. 회전관성이 클수록 회전상태를 변화시키기가 어렵다(회전관성에서 왜 관성이라 단어가 붙었는지에 대한 이유다)

물체를 회전시키려는 토크는 회전축에서 무게중심까지의 거리에 비례하지만, 물체가 현재의 운동상태를 유지하려는 경향을 나타내는 회전관성은 회전축에서 무게중심까지의 거리의 제곱에 비례한다. 따라서 무게중심이 회전축에서 멀리 떨어진 경우가 회전속력의 변화가 더디게 된다.

이는 망치를 손바닥 위에 세우려고 할 때 머리를 손바닥에 위치하게 세우는 것보다 손잡이 끝을 손바닥에 놓고 세우기가 더 수월한 이치와 같다.


정량적인 설명도 가능하다.


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실패에 감긴 줄을 그림에 표시된 방향으로 당길 때 실패는 어느 방향으로 구르는가?

물리법칙을 이용해서 설명할 수 있는가? 첫번째는 명확하다...두번째와 세번째는?

각 경우 마찰력의 방향은? 



유튜브 동영상을 볼까요?

동영상을 보면 구르지 않고 끌려오는 경우가 있다. 어떤 조건에서 이러한 현상이 생길까?



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