Geometry & Recognition

반지름 $R$인 반구의 꼭대기부터 길이 $\ell$인 줄이 걸쳐 있게 잡고 있다가 놓았다. 운동을 시작하는 시점에 줄의 어느 부분에 걸리는 장력이 가장 클까? 단, 마찰은 없고, 줄의 단위길이당 질량은 $\lambda$이다.

풀이: 줄에 걸리는 중력이 반구의 중심에 대한 토크를 만들어 줄이 미끄러지게 한다. 각 $\theta$ 근처의 미소 부분에 작용하는 중력이 만드는 토크가 

$$d\tau =(gdm\sin \theta )R$$

이고,  미소질량이  $dm=\lambda Rd\theta$이므로 다 더하면

$$\tau ={\int }_0^{\ell /R}\lambda g{R}^2\sin \theta d\theta =\lambda g{R}^2(1-\cos \frac{\ell }{R})$$

줄의 회전관성은 $I=m{R}^2=\lambda \ell R^2$이므로 회전각가속도는

$$\alpha =\frac{\tau }{I}=\frac{g}{\ell }(1-\cos \frac{\ell }{R})$$

다시 미소 부분에 작용하는 접선방향의 가속도는 양끝에서 장력의 차이와 중력의 접선성분이 있다. 접선방향 운동방정식은

$$\sum F_t=dT+dmg\sin \theta =dma,a=R\alpha$$

$$\to dT=\lambda Rd\theta (a-g\sin \theta )$$

을 얻는데 장력의 최댓값은 $dT/d\theta =0$인 위치다. 즉,

$$\frac{dT}{d\theta }=\lambda R(a-g\sin \theta )=0$$에서

$$\theta ={\sin }^{-1}\frac{a}{g}={\sin }^{-1}\left[\frac{R}{\ell }(1-\cos \frac{\ell }{R})\right]$$

줄의 짧은 경우 $\sin \theta \approx \theta$, $\cos \frac{\ell }{R}\approx 1-\frac{1}{2}(\frac{\ell }{R}{)}^2$이므로

$$\theta \approx \frac{\ell }{2R}$$

을 얻는 데 줄의 중간지점에서 장력이 가장 큼을 알 수 있다.

반지름이 $R$인 원판을 회전시킨 후 마찰이 있는 바닥에 놓았다. 원판의 각가속도는?

힌트: 원판을 미소링으로 분해를 한 후 각 링에 작용하는 마찰력에 의한 토크를 계산하자. 반지름 $r$과 $r+dr$ 사이의 링이 만드는 마찰토크는 (원판의 단위면적당 질량=$\sigma$)

$$d\tau =-f_{k}r=-(\mu dmg)r=-\mu (\sigma 2\pi rdr)gr=-2\pi \mu \sigma g{r}^{2}dr$$

이므로 모든 미소링의 기여를 합하면

$$\to \tau =\int d\tau =-2\pi \mu \sigma g{\int }_0^R{r}^{2}dr=-\frac{2\pi }{3}\mu \sigma g{R}^3=-\frac{2}{3}\mu mgR$$

따라서 회전운동 방정식 $\tau =I\alpha$에 적용하면 각가속도는

$$\alpha =-\frac{4\mu }{3}\frac{g}{R}$$

동일한 디스크 두 개의 중심이 가벼운 막대로 연결되어 있고, 앞 디스크는 처음 각속도 ${\omega }_0$로 시계방향 회전을 한다. 이 두 디스크를 바닥에 놓았을 때 앞바퀴와 달리 뒷바퀴에 작용하는 마찰이 충분히 커서 미끄러지지 않고 구르는 운동을 한다. 두 디스크는 처음 질량중심이 오른쪽 가속도를 가지지만 A의 각속도는 감소를 한다. 

1. A에 작용하는 운동마찰력의 방향은 오른쪽: $f_k=\mu mg$
2. B에 작용하는 정지마찰력($f$) 방향은 왼쪽
3. B의 cm에 대한 회전운동(막대의 장력은 토크 기여가 없음): 정지마찰력만 토크에 기여  $$fR=\frac{1}{2}m{R}^2\frac{a}{R}\to f=\frac{m}{2}a$$
4. 계의 수평방향 cm 병진운동(수평방향 외력=마찰력)  $$f_k-f=(m+m)a\to a=\frac{2}{5}\mu g$$
5. 따라서 B에 작용하는 정지마찰력: $f=\frac{1}{5}\mu mg$
6. 바닥의 임의의 한 지점에 대한 각운동량 보존됨을 이용하면(바닥에서 작용하는 수평방향 마찰력은 토크를 만들지 못함) 최종적으로 두 바퀴가 공통으로 회전하는 각속도를 구할 수 있다. $$L_i=L_{A,i}=\frac{m{R}^2}{2}{\omega }_0$$ 같은 각속도로 구르기 시작할 때, 두 바퀴의 질량중심운동과 질량중심축에 대한 회전운동이 각운동량에 기여하므로 $$L_f=\frac{3}{2}m{R}^2\omega \times 2$$ $$\to \omega =\frac{1}{6}{\omega }_0$$