충돌 후 강철공의 속도는?

 

무거운 강철공($M$)과 가벼운 강철공($m\ll M$)이 거의 접촉한 채로 $h$ 높이에서 떨어진 후 단단한 바닥에 충돌한다. 이후 가벼운 강철공이 날아가는 속도는(방향, 빠르기)? 단, 모든 충돌은 탄성적이다.

 

힌트: 무거운 공이 바닥에 충돌하기 직전 두 공의 속도는 동일한 $v=\sqrt{2gh}$이다. 무거운 공은 바닥에 탄성충돌 후 위쪽 방향으로 동일한 속력 $v(\uparrow )$으로 아래로 내려오는 가벼운 공과 2차충돌한다. 두 공의 질량 차이가 크기 때문에 2차 충돌 후 무거운 공의 속도는 충돌 직전과 달라지지 않는다고 가정해도 된다. 그리고 두 공 사이의 충돌이 탄성적이라고 했으므로 충돌 직전의 상대속도와 충돌 직후의 상대속도 크기는 변하지 않는다. 충돌 과정에 가벼운 공은 두 공의 중심을 잇는 선분방향으로 내력을 받으므로 그 방향의 속도 성분($\nwarrow$)이 변한다: $V$. 

$$\text{충돌 직전 상대속도:}v\cos \theta -(-v\cos \theta )=2v\cos \theta$$

$$\text{충돌 직후 상대속도:}V-v\cos \theta$$

따라서  $$V=3v\cos \theta =2\sqrt{2gh}\cos {30}^{\circ }=\sqrt{6gh}$$이므로 가벼운 공의 충돌 후 속력은 

$$v_{\text{light}}=\sqrt{V^2+v^2{\sin }^2\theta }=\sqrt{\frac{13}{2}gh}$$