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물통이 밀리지 않기 위한 마찰계수는?

Physics/유체역학 2025. 3. 3. 11:08

물통(바닥접촉 면적 $A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>$ )의 아래에 구멍(단면적: $a ≪ A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>≪</mo><mi>A</mi></math>$ )이 생기면 물이 빠져나가는데 이때 물통은 물과 반대로 밀리는 힘을 받는다. 물통이 뒤로 밀리지 않으려면 바닥과의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트: 토리첼리 정리에 의해서 바닥 구멍에서 나오는 물의 속도는 수면과의 높이가 $h <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math>$ 일 때, $v = \sqrt 2 g h <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn><mi>g</mi><mi>h</mi></msqrt></math>$ 이다. 물이 나오는 과정에서 물의 운동량의 변화가 $Δ P = Δ m v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mi>v</mi></math>$ 이므로 물통이 받는 반작용은 $F = Δ P / Δ t = v Δ m / Δ t <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></math>$ 이고, 시간당 나오는 물은 $Δ m / Δ t = a ρ v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>ρ</mi><mi>v</mi></math>$ 이므로

$F = a ρ v 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>ρ</mi><msup><mi>v</mi><mn>2</mn></msup></math>$

이 힘이 정지마찰력 보다 작으면 물통은 움직이지 않는데, 나오는 물의 속력이 제일 빠른 처음 물이 나올 때 가장 크다는 것을 알 수 있다.

$F≤μ(ρAh)g → μ≥2aA<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>F</mi><mo>≤</mo><mi>μ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>ρ</mi><mi>A</mi><mi>h</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>g</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>μ</mi><mo>≥</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><mi>A</mi></mfrac></math>$

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물체가 받는 총수압이 더 큰 쪽은

Physics/유체역학 2025. 1. 15. 11:38

밀도가 물의 두 배인 물체를 두 가지 방법으로 물 속에 가라앉혔다. 물이 물체에 작용하는 총수압이 더 큰 쪽은? 단, 물체의 바닥은 물그릇의 바닥과 완전히 밀착되어 있다.

1. A

2. B

3. A = B

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물이 컵 바닥에 주는 총 압력은?

Physics/유체역학 2025. 1. 14. 08:37

대기압하에서 밀도가 물의 절반인 공을 줄을 이용해서 물이 담긴 컵바닥에 고정했다. 물이 컵의 바닥에 주는 총 힘은?

1. $P atm A + M g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mtext>atm</mtext></msub><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>M</mi><mi>g</mi></math>$

2. $P atm A + (M + m) g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mtext>atm</mtext></msub><mi>A</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>M</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>g</mi></math>$

3. $P atm A + (M + 2 m) g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mtext>atm</mtext></msub><mi>A</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>M</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>g</mi></math>$

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