Geometry & Recognition

답은 아주 단순하게 구할 수 있다. 풀이는 직접 부력을 계산해서 구하자. 공이 수면에서 나온 높이가 $y$일 때 나온 부분의 부피는 $V_\text {float} = \frac {\pi y^2}{3}(3r-y)$이므로 잠긴 부분의 부피는 $V_\text {submerged} = V_\text {sphere} -  V_\text {float}$이고, 부력은 $$ F_b = \rho gV_\text {submerged} = \rho gV_\text {sphere} - \rho gV_\text {float} = mg - \rho g V_\text{float}$$물속에 잠겨있는 동안에는 부력과 중력이 같으므로 외력이 필요 없고, 물 밖으로 나오는 경우에만 외력이 필요한다. 외력이 $$F = mg - F_b = \rho g  V_\text{float} $$이므로 

$$ W = \int _0^ {2r} F dy = \int_0^{2r} \frac {\pi\rho g y^2}{3} ( 3 r  - y ) dy =  mgr$$

부력을 굳이 구할 필요가 없다. 공의 질량을 무시할 수 있으므로 해 준 일은 결국 용기 속 물의 위치에너지를 올리는 데 사용된 것이다. 공이 물속에 잠길 때 밀어낸 물의 질량은 $m_1 = \frac {4}{3}\rho \pi R^3$이고, 수면의 높이는 $\Delta h = \frac {4\pi R^3}{3A}$만큼 높아진다.

처음 그릇의 물을 공이 완전히 잠겼을 때 차지하는 부분의 물(질량은 $m_1 = $공이 잠겼을 때 처음 표면 위쪽으로 올라가는 물의 질량이다)과 나머지 부분의 물($m_2=M-m_1$) 로 구별하자. 그러면 수조 물의 질량중심은(구체적으로 계산할 필요는 없다) $$y_{cm}  = \frac {m_1 y_1+m_2 y_2}{m_1 + m_2}$$

이제 공이 완전히 잠겼을 때 질량중심의 변화는 $m_1$의 질량중심 위치 변화가(오른쪽 그림에서 공 중심에서 원래 표면 위쪽으로 올라간 부분의 중간 높이로 변함) $\Delta y_1 = \frac {1}{2} \Delta h + H-R$이고 $m_2$는 변화가 없다: $\Delta y_2= 0$. 따라서 

$$\Delta y_{cm} = \frac {m_1 \Delta y_1}{m_1 + m_2}$$

이므로 그릇 물 전체 위치에너지의 변화는 

$$\Delta U = ({m_1+m_2}) g \Delta y_{cm} = m_1 g \Delta y_1 = \rho g \frac {4\pi R^3}{3} \left( \frac {2\pi R^3}{3A} + H - R\right)$$

이다. 잠긴 공이 밀어낸 물의 위치에너지 변화와 같다.