물통이 밀리지 않기 위한 마찰계수는?

물통(바닥접촉 면적 $A$)의 아래에 구멍(단면적: $a\ll A$)이 생기면 물이 빠져나가는데 이때 물통은 물과 반대로 밀리는 힘을 받는다. 물통이 뒤로 밀리지 않으려면 바닥과의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트: 토리첼리 정리에 의해서 바닥 구멍에서 나오는 물의 속도는 수면과의 높이가 $h$일 때, $v=\sqrt{2gh}$이다. 물이 나오는 과정에서 물의 운동량의 변화가 $\mathrm{\Delta }P=\mathrm{\Delta }mv$이므로 물통이 받는 반작용은 $F=\mathrm{\Delta }P/\mathrm{\Delta }t=v\mathrm{\Delta }m/\mathrm{\Delta }t$이고, 시간당 나오는 물은 $\mathrm{\Delta }m/\mathrm{\Delta }t=a\rho v$이므로 

$$F=a\rho v^2$$

이 힘이 정지마찰력 보다 작으면 물통은 움직이지 않는데, 나오는 물의 속력이 제일 빠른 처음 물이 나올 때 가장 크다는 것을 알 수 있다.

$$F\le \mu (\rho Ah)g\to \mu \ge \frac{2a}{A}$$