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고무밴드와 기둥 사이의 마찰계수는?

Physics/역학 2025. 2. 23. 21:44

질량 $m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math>$ 인 고무밴드가 수직으로 서있는 원통기둥에 감겨있다. 감긴 고무밴드에 걸리는 장력은 $T <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>$ 이다. 이 고무밴드가 아래로 미끄러지지 않기 위해서는 밴드와 원통기둥 사이의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트:

밴드가 기둥에 접하는 면적을 $A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>$ 라고 하자. 고무줄의 임의의 미소부분에 수평방향으로는 장력과 기둥이 주는 압력이 평형상태에 있다.

$∑Fhorizontal=2TsinΔθ2−PΔA=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo data-mjx-texclass="OP">∑</mo><msub><mi>F</mi><mtext>horizontal</mtext></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>T</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>θ</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>−</mo><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$

$Δ θ \to 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>θ</mi><mo accent="false" stretchy="false">\to</mo><mn>0</mn></math>$ 일 때 이 식은

$TΔθ=PΔA → T(2π)=PA → P=2πTA<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>T</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>A</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>P</mi><mi>A</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>P</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>T</mi></mrow><mi>A</mi></mfrac></math>$

로 밴드에 작용하는 압력을 얻는다(virtual work 원리를 이용해도 된다). 밴드의 미소 부분(질량= $mΔAA<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>A</mi></mrow><mi>A</mi></mfrac></math>$ )에 작용하는 수직방향도 평형상태이므로

$∑Fvertical=mgΔAA−fs=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo data-mjx-texclass="OP">∑</mo><msub><mi>F</mi><mtext>vertical</mtext></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>A</mi></mrow><mi>A</mi></mfrac><mo>−</mo><msub><mi>f</mi><mi>s</mi></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$

그런데 정지마찰력이 $f_{s} \leq μ P Δ A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>s</mi></msub><mo>\leq</mo><mi>μ</mi><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>A</mi></math>$ 이므로

$μ≥mg2πT<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>μ</mi><mo>≥</mo><mfrac><mrow><mi>m</mi><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>T</mi></mrow></mfrac></math>$

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막대
정삼각형
반원
질량에 따라 다르다.
기울어진 각도에 따라 다르다.

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한쪽 끝이 공중에 떠있는 막대가 부분적으로 물에 잠겨 있다. 물속에 들어가 있는 부분의 얼마인가? 막대의 길이는 $L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>$ , 비중은 $s < 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s</mi><mo><</mo><mn>1</mn></math>$ 이다.

힌트:

풀이: 막대의 토크에 대한 평형을 고려하자. 회전기준을 pivot으로 잡으면 중력과 부력이 토크에 기여한다. 중력이 만드는 토크는 $τW=ρgVL2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>τ</mi><mi>W</mi></msub><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mfrac><mi>L</mi><mn>2</mn></mfrac></math>$

물에 잠긴 비율이 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 이면 물에 잠긴 부분의 중심은 pivot에서 $(1−x+x2)L=2−x2L<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">)</mo><mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>L</mi></math>$ 이므로 부력이 만드는 토크는 $τB=ρwg(xV)2−x2L=12ρwgVL(2x−x2)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>τ</mi><mi>B</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>ρ</mi><mi>w</mi></msub><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msub><mi>ρ</mi><mi>w</mi></msub><mi>g</mi><mi>V</mi><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 두 토크의 크기가 같다는 조건에서 ( $s = ρ / ρ_{w} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ρ</mi><mi>w</mi></msub></math>$ )

$x = 1 - \sqrt{1 - s} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>s</mi></msqrt></math>$

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