Geometry & Recognition

Accretion disk 면에서 살짝 위쪽에서 바라본 매우 무거운 블랙홀(인터스텔라에서 나온 블랙홀 가르강튀아(Gargantua)): accretion disk가 토성의 띠처럼 보일 것으로 예상하지만 뒤쪽의 띠에서 오는 빛은 중력렌즈 효과 때문에 디스크 면 위와 아래에서 오는 것처럼 관찰자에게 보인다. (source)

참고문헌: https://arxiv.org/abs/1502.03808

Accretion disk에 수직인 방향에서 보면 우리가 아는 블랙홀의 모습이 나온다.

블랙홀 주변에서 관찰자가 위도(accretion disk를 적도면으로 볼 때)를 따라 움직일 때 보이는 모습(source)

길이 $L$인 균일한 줄(선밀도 $\lambda$)의 양끝을 수평으로 일정한 거리만큼 떨어진 벽의 두 지점에 고정하였다. 고정 위치에서 줄이 수평과 이루는 각은 $\theta$이고 줄의 가장 아래는 $d$만큼 내려가 있다. 줄의 한쪽 끝에서 가벼운 고리가 미끄러지는 운동을 한다.  고리가 처진 줄의 맨 아래에 내려왔을 때 가속도는? 단, 고리는 매우 가벼워서 줄의 처짐에 영향을 주지 않고, 마찰은 무시할 수 있다. 

힌트:  고리가 줄의 맨 아래에 왔을 때 고리에 작용하는 힘은 수직항력과 중력 뿐이고, 이 두 힘의 합력이 구심력 역할을 한다. 따라서 처진 줄의 가장 아래에서 곡률을 구해야 한다. 양끝이 고정된 줄은 catenary 모양을 한다. 줄의 고정 위치에서 줄이 수평과 이루는 각도가 $\theta$이고 줄의 장력이 $T_0$이라면 양끝에서 장력의 수평성분이 줄 전체 무게를 지탱해야 하므로

$$2T_0\sin \theta =\lambda gL\to T_0=\frac{\lambda gL}{2\sin \theta }$$또한 맨 아래에서 장력(수평방향)을 $T$라면 줄의 수평성분방향의 운동이 없으므로 

$$T=T_0\cos \theta =\frac{\lambda gL\cot \theta }{2}$$

줄의 맨 아래지점에서 곡률반지름을 $R$이라면 그 지점을 중심으로 하는 미소 부분에 작용하는 장력의 수직성분이 그 부분의 무게를 지탱하므로

$$2T\sin \frac{d\theta }{2}=\lambda Rd\theta \to T=\lambda Rg$$ 앞서 구한 장력 $T$와 비교하면 가장 아래 지점에서 줄의 곡률 반지름이

$$R=\frac{L}{2\tan \theta }$$

고리가 맨 아래지점에 도달했을 때 속도는 $v=\sqrt{2gd}$이므로 가속도는 

$$a_c=\frac{v^2}{R}=\frac{4gd}{L}\tan \theta$$

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 같은 질량의 3 물체 A, B, C가 줄로 연결되어 있다. B와 C를 연결하는 줄의 길이는 $L$인데, 처음 A와 B를 연결한 줄 아래로 $3L/5$만큼 떨어진 위치에서 C가 $v_0$로 운동을 시작한다. B와 C를 연결하는 줄의 길이가 팽팽해진 직후 각 물체의 속도를 구하라. 단, A와 B를 연결하는 줄은 처음부터 느슨하지 않게 연결되어 있다.

힌트: 1. B와 C의 줄이 팽팽해진 직후 A와 B를 연결하는 줄이 늘어나지 않으므로 두 물체의 줄방향(수평방향) 속도성분은 같고($v_x$),

2. B는 C와 연결된 줄 때문에 줄에 수직방향(아래방향, $v_y$) 성분을 가진다. 그리고

3. C는 줄이 팽팽해진 직후 줄방향 성분($v_{\parallel }$)은 변하지만, 줄에 수직성분은 변하지 않는다. 그런데 줄에 수직성분은 $v_{\perp }=v_0\sin \theta =\frac{3}{5}{v}_0$로 정해진다.

4. B와 C의 줄방향 성분이 같아야 한다.

$$v_{\parallel }=v_x\cos \theta +v_y\sin \theta \to 5v_{\parallel }=4v_x+3v_y$$

5. 외력이 없기 때문에 수평/수직 방향 운동량이 보존되어야 한다.

$$\text{수평방향:}m{v}_0=m{v}_x+m{v}_x+m(v_{\perp }\sin \theta +v_{\parallel }\cos \theta )\to 16v_0=50v_x+20v_{\parallel }$$

$$\text{수직방향:}0=m{v}_y+m(v_{\parallel }\sin \theta -v_{\perp }\cos \theta )\to 25v_y+15v_{\parallel }-12v_0=0$$

세 개의 미지수 $v_x$, $v_y$, $v_{\parallel }$에 3 개의 방정식이 있으므로 이를 풀면

$$v_{\parallel }=\frac{34}{105}{v}_0,v_x=\frac{4}{21}{v}_0,v_y=\frac{2}{7}{v}_0$$를 얻는다.