Geometry & Recognition

길이 $L$인 고무줄의 한쪽이 벽에 고정되어 있다. 반대편 끝을 당겨서 일정한 속도 $V$로 움직이기 만든다. 끝을 당기는 시점에 고무줄의 끝에 있던 벌레가 벽을 향해서 기어간다. 벌레는 고무줄에 대해서 $u$의 일정한 속력으로 움직인다. 고무줄이 모두 지점에서 균일하게 늘어나는 경우 벌레가 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은?

시간이 $t$일 때 벌레의 위치를 $x(t)$라면, 벌레 위치에서 고무줄이 늘어나는 속도(오른쪽)는 

$$ V \frac{x(t)}{L+Vt} $$

이고, 벌레가 움직이는 속도는 이 속도에서 고무줄에 대해 상대적으로 움직이는 속력 $u$(왼쪽)를 빼면 되므로

$$ v_\text{bug} = V \frac{x(t)}{L + Vt} - u =\frac{dx}{dt}$$

이다. 1차 미분방정식이므로 적분인자 $\exp[ -\int \frac{1}{L/V +t}dt ] = \frac{1}{t + L/V}$을 양변에 곱하면 

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{x(t)}{t + L/V} \right) = -\frac{u}{t + L/V}$$

로 쓸 수 있으므로 벌레의 위치는 

$$ x(t) = (Vt +L)\left(1 - \frac{u}{V} \ln \frac{Vt+L}{L} \right)$$

따라서 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은 

$$ t_\text{wall} = \frac{L}{V} \left( e^{V/u}-1\right)$$

로 주어진다. 고무줄의 늘어나는 속력이 아무리 빨라도 결국에서는 벌레는 벽에 도달할 수 있다. 물론 고무줄 끝이 늘어나는 속도가 커지면 시간이 지수함수적으로 늘어나기는 하지만... 그리고 늘어나는 속력이 매우 작거나 아니면 벌레의 상대속력이 매우 큰 경우에는  $t_\text{wall} \to L /V$로 고무줄의 늘어남에 거의 무관하게 된다.

반지름이 $R$인 구형 축전기가 있다. 다른 물체와 충돌로 인해 표면의 일부가 안으로 찌그러져 버렸다. 찌그러져 패인 부분의 부피가 이전의 1% 정도 일때 축전기 용량은 어떻게 변할까?

1. 1% 증가
2. 1% 감소
3. 0.5% 증가
4. 0.5% 감소
5. 0.333% 증가
6. 0.333% 감소

풀이: 반지름 $R$인 구형 축전기의 전기용량은 $C=4\pi \epsilon_0 R$로 주어진다. 전하 $Q$로 충전된 축전기에 저장된 전기에너지가 $U= \frac{Q^2}{2C}$이다. 전하를 일정하게 유지하면서 전기용량이 변하면 $\Delta U= - \frac{Q^2}{2C}\frac{\Delta C}{C}$이므로 전기용량이 감소하면 저장된 에너지가 증가한다. 구형 축전기 내부에는 전기장이 없지만 외부에는 전기장이 형성되어 있으므로, 내부로 찌그러지면 전기장이 있는 영역이 증가하므로 축전기가 저장한 에너지가 증가하게 된다 (찌그린 외력이 일부 에너지를 제공했음). 구형 축전기의 패인 부분이 작으면 그 부분에서 전기장은 표면에서 전기장으로 근사를 할 수 있다. 표면에서 전기장이 $E_\text{surface} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R ^2}$로 주어진다. 그러면 찌그러진 부분에 저장된 에너지는 $$ \Delta U \approx  \left( \frac{1}{2}\epsilon_0E^2_\text{surface} \right) \times \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right)\times \frac{1}{100}$$

로 근사되므로

$$ \frac{\Delta C}{C} = -\frac{1}{300}$$

 임을 확인할 수 있다.

단면적이 $S$인 호스를 반지름 $R$이 되게 구부려 반원 모양으로 만든 후 물을 흘려보내면 직선으로 펴지려고 할 것이다. 반원 모양을 유지하기 위해서 양끝을 실로 연결했을 때 걸리는 장력은? 단, 물은 일정한 속력 $v$로 흐르고 밀도는 $\rho$이다.

1. $2\rho S v^2$
2. $\rho S v^2$
3. $\frac{1}{2} \rho S v^2$

지름이 $d$인 열린 실린더 아래 부분에 아주 가벼운(그렇지만 잘 휘어지지 않는) 판을 밀착한 후 물 속 $h$만큼 깊이로 밀어 넣었다(판이 잘 붙어 있으면 물이 새지는 않을 것이다). 이제, 작지만 무거운 추를 판 위에 얹어 물이 샐 수 있는 틈을 만들려 한다. 추의 무게는 얼마나 되어야 할까?(어디에 놓아야 할까?) 단, 물의 밀도는 $\rho$.

1. $\frac{1}{8} \rho \pi d^2 h$
2. $\frac{1}{4} \rho \pi d^2 h$
3. $\frac{1}{2} \rho \pi d^2 h$

표면이 매끄러운 반구가 역시 매끄러운 바닥에 놓여있다. 반구의 꼭대기에 물체를 올려 놓은 후 살짝 충격을 주면 물체는 미끄러지는 운동을 시작한다. 물체가 반구의 표면을 떠나는 각도는? 반구가 고정된 경우는 상대적으로 쉬운 문제다.

풀이: 물체가 받는 힘은 중력과 반구가 작용하는 수직항력이고, 반구는 수평방향의 운동만 하고 수평힘은 수직항력 반작용의 수평성분이다. 수직항력과 중력의 표면수직성분이 물체의 원운동을 일으키는 구심력 역할을 하는데, 구심가속도가 속력의 제곱에 비례하므로 물체의 속력이 클수록 더 작은 각에서 떨어질 것으로 예상할 수 있다. 그런데 반구가 움직이면 처음 물체가 가지고 있던 중력위치에너지의 일부가 반구에도 할당이 되므로 물체의 속력이 상대적으로 더디게 늘어나므로 표면에서 떨어지는 각위치가 커질것으로 예상할 수 있다. 이 문제는 뉴턴 방정식을 풀어서 해결할 수도 있지만, 외력이 중력뿐이고 마찰력이 없으므로 운동량 보존과 에너지 보존을 이용하는 편이 더 쉽다. 

물체의 속도를 $v_x$(오른쪽+), $v_y$(아래+)라 하고, 반구의 수평속도는 $V$(밀리는 방향인 왼쪽+)로 하자. 수평방향 외력이 없으므로 운동량의 수평성분은 보존이 되므로 

$$ mv_x = MV$$

반구와 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체가 표면에서 떨어지기 전까지는 표면을 따라 움직이므로 이 관찰자에게 물체의 속도 방향은 접선방향이어야 한다. 이 관찰자가 보면 물체의 속도는 $(v_x + V, v_y)$이므로 반구의 접선방향이 되기 위해서는 $$ \frac{v_y}{v_x + V} =\tan \theta \qquad \to \qquad  v_y = \left( 1+\frac{m}{M}\right) \tan \theta v_x$$

그 다음의 역학적 에너지가 보존되므로 

$$ \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2 ) + \frac{1}{2} MV^2 = mgR (1-\cos \theta)$$

이를 이용하면 $v_x, v_y, V$을 $\theta$의 함수로 구할 수 있다.  $\xi = m/M$일 때

$$ v_x^2  = \frac{2gR(1 -\cos \theta)}{ (1+\xi)(1+ (1+\xi) \tan^2 \theta)}$$

언제 물체가 떠나는가? 물체가 반구 위에 있으면 수직항력의 수평성분때문에 속도의 $x$ 성분이 증가하지만, 일단 반구를 떠나면 수평방향 외력이 더 이상 작용하지 않으므로 $v_x$는 일정한 값이 된다. 따라서 $v_x$가 최대가 되는 $\theta$에서 물체는 반구의 표면을 떠나게 된다. $dv_x^2/d\theta =0$을 열심히 계산을 하면

$$ \xi \cos ^3 \theta - 3 (1+\xi) \cos \theta + 2 (1 + \xi)=0$$

의 근을 찾으면 된다.

$$\cos(\theta) = 2\sqrt{\frac{1+\xi}{\xi}} \cos\left[ \frac{1}{3} \cos^{-1}\left(-\sqrt{\frac{\xi}{1+\xi}}\right) -\frac{2\pi}{3}\right]$$

특별한 경우로 $m=M$이면 $\cos \theta = \sqrt{3}-1$로 $\theta \simeq 42.9^\circ$이고, $m \ll M$이면 잘 알려진 $\cos \theta = 2/3$ 즉, $\theta\simeq 48.2^\circ$이다.