편미분방정식의 해를 일정한 시간 간격별로 얻은 데이터로 만든 그래프는 animating gif를 이용하면 시간적으로 변하는 해를 보다 쉽게 표현할 수 있다. 각각의 시간 간격(여기서는 10 * time-step)에서 얻은 데이터 화일의 이름이 gp_0000.data, gp_0010.dat,...,go_2000.dat 처럼 되도록 만든다. 각 데이터 화일은 공간 그리드 위치와 그 지점에서 해의 값 (999개 행 x 2열이고, xrange 가 0:1000 이고, yrange는 -1:1 이다). 

그래픽화일에서  gif를 만드는 프로그램을 이용하려면 각 데이터 화일을 이용해서 일단 그래픽 화일을 만들고, 만들어진 그래픽화일을 모아서  gif를 만든다. gnuplot에서는 이 작업이 일괄작업으로 가능한데, 이를 위해서는 다음과 같이 두 개의 txt 파일을 editor로 만들면 된다.

gp_out.plt--화일;

#We will plot gif animation

reset

set term gif animate

set output "gpacket.gif"                #생성될  gif화일.

n = 2000    #n frames                #마지막 화일번호

set xrange [0:1000]

set yrange [-1:1]

i = 0                                        #시작화일 번호

load "gp_ann.plt"                      #각 데이터 화일을 그리는 명령을 담고 있음

set output


gp_ann.plt--화일

plot sprintf("gp_%04d.dat", i) u 1:2 w l    #데이터 화일의 이름이 gp_####.dat

i = i + 10                                            #화일의 번호가 10씩 증가함.

if (i < n) reread


gnuplot 에서 load gp_out.plt


또는, 하나의 화일로 만들면,

reset

set term gif animate

set output "gpacket.gif"

n = 2000 #n frames

set xrange [0:1000]

set yrange [-1:1]

do for [i = 0: n: 10] {

          plot sprintf("gp_%04d.dat", i) u 1:2 w l

}

set output


결과: potential well 내부에 갇힌 gaussian wavepacket의 time evolution (real part만)을 보여준다.




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바닥에 고정된 용수철에 물체를 매달아 압축한 후 손을 뗐다. 물체는 위-아래로 흔들리는 운동을 한다. 물체가 어느 지점에 도달할 때 물체가 받는 (알짜)힘의 크기가 최소가 되는가?

1. a

2. b

3. c

4. d

5. 이 중에는 없다.



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두 물체를 양쪽으로 잡아당겨 용수철을 늘린 후 동시에 마찰이 없는 바닥에 놓는다. 다음 물리량 중에서 두 물체 모두 같은 값을 갖는 것은?

1. 속력(v)

2. 가속도 크기(a)

3. 운동량 크기(mv)

4. 운동에너지(½mv²)

5. 이 중에는 없다.


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오픈카의 속력은?

Physics 2017.01.18 11:06

얼음판 위를 미끄러지는 오픈카 위로 비(수직방향)가 내린다. 오픈카의 속력은?

1. 감소한다.

2. 증가한다.

3. 그대로다.


어떤 물리법칙이 적용될까?

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저울의 눈금은?

Physics 2017.01.11 12:31

저울 위의 얼음을 커에 넣으면 저울의 눈금은?

1. 저울은 어차피 얼음+물+비커의 무게를 재므로 변함없다.

2. 얼음 무게가 부력에 의해 일부 상쇄되어 저울을 덜 누르므로 눈금은 감소한다.


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납덩어리가 붙어있는 스티로폼이 물그릇에 떠있다. 납덩어리가 물 속에 들어가게 스티로폼을 뒤집어 놓으면 스티로폼이 잠기는 정도는 어떻게 변하는가?

1. 처음보다 더 깊이 잠긴다.

2. 처음보다 덜 잠긴다.

3. 변함없다.




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경사진 언덕을 굴러 내려오는 원통형 실린더가 반대편 마찰이 없는 언덕을 오른다.  실린더는 처음 출발 높이까지 올라갈 수 있는가? (왼쪽 언덕 위에서 정지상태에서 출발하였고, 구르는 동안 미끄러짐은 없다.)

1. 에너지 보존을 생각하면 처음 출발 높이까지 오를 수 있다.

2. 에너지 보존을 생각하면 처음 출발 높이까지 오를 수 없다.



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설현과 성소가 스키장의 한 출발지점에서 다른 경로를 따라 결승선을 향해서 동시에 미끄러진다. 누가 먼저 결승선에 도착하는가? (중간에 스키폴을 사용하지 않는다)

1. 경로가 짧은 성소가 먼저 도착한다.

2. 수평면에서 속도가 빠른(왜?) 설현이 먼저 도착한다.

3. 역학적 에너지가 보존되므로 동시에 도착한다.


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설현은 질량 M인 공을 길이 L인 줄에 매달아 자신의 몸을 축으로 1초에 1회전하게 돌리고 있다. 성소는 질량 M이고 길이가 L인 막대를 역시 1초에 1회전하도록 돌리고 있다. 누구의 팔에 힘이 더 많이 들어가는가?(중력에 의한 처짐은 무시한다)

1. 설현

2. 성소

3. 같다


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스키장에서 설현과 성소가 같은 높이에서 동시에 미끄러진다. 점선은 두 사람이 움직인 경로를 나타낸다. 누가 먼저 결승선에 도착하는가? (공기저항과 마찰은 무시할 만큼 작고, 중간에 스키폴을 사용하지 않는다)

1. 성소

2. 설현

3. 동시에 도착한다.


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추가 매달린 줄을 끊는다. 체중계의 눈금이 가장 작아지는 경우는?

  1. 줄을 끊은 직 후
  2. 추가 가라앉는 속력이 점점 커지는 경우(줄의 끊은 후에는 점차 빨라진다)
  3. 추가 가라않는 속력이 일정해지는 경우 (물의 저항때문에 조금 시간이 지나면 일정한 속력이 된다)
  4. 어느 경우든 체중계는 지지대+추+물+컵의 무게를 재므로 눈금은 같다.


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그림의 추가 위-아래로 흔들린다. 체중계의 눈금이 가장 커지 때는?

1. 추가 가장 위로 올라갔을 때 

2. 추가 가장 아래로 내려왔을 때

3. 추가 중간지점을 통과할 때

4. 체중계는 결국 추+용수철+지지대의 무게를 재므로 언제나 같다.


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일정한 속도로 달리는 열차의 양 끝에 설현과 성소가 후레쉬를 들고 서 있다. 열차의 중앙에는 광센서가 놓여 있어서 양쪽에서 오는 빛을 동시에 받는 경우만 불이 켜진다. 설현과 성소가 동시에 후레쉬를 켠다. 지상에서 구하라가 이들의 실험을 관찰하고 있다. 구하라는 중앙의 광센서에서 불이 켜지는 것을 확인할 수 있을까?



설현 생각: 설현이나 성소로부터 중앙까지 거리가 같고 빛의 속력은 언제나 c이므로 중앙의 광센서에 동시에 도달하여 불이 켜지게 된다. 따라서 구하라도 센서의 불을 볼 수 있다.

 

구하라 생각: 구하라가 보기에도 설현(열차가 가는 방향으로 빛을 쏨)과 성소(열차가 가는 방향 반대로 빛을 쏨)의 후레쉬에서 나오는 빛은 중앙을 향해서 c의 속력으로 움직인다 (특수 상대성 기본가정2). 설현이 쏘는 빛이 진행하는 동안 센서는 멀어지고, 성소가 쏘는 빛에는 가까워진다. 따라서 성소가 쏘는 빛과 설현이 쏘는 빛은 센서에 동시에 도달할 수 없으므로 센서의 불은 켜지지 않는다.

 

누구의 생각이 맞을까? 틀린 사람은 어디서 잘못을 저질렀는가?




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설현과 성소가 KTX 철로변에 일정한 거리 L만큼 떨어진 상태로 페인트 붓을 들고 서 있다. 일정한 속도로 달리는 KTX가 두 사람의 앞에 지날 때 동시에 KTX에 붓칠을 한다. KTX에는 구하라가 타고 있다. 설현과 성소가 칠한 페인트 자국의 거리를 구하라(또는 KTX 승무원)가 잴 때 얼마로 어떻게 나올까?


성소생각: 구하라가 볼 때 성소와 설현의 사이거리는 길이수축에 의해서 L보다 줄어들어 보인다. 따라서 KTX의 페인트 자국은 L보다 작을 것이다.


설현생각: KTX에 생길 두 페인트 자국의 사이거리는 설현과 성소가 볼 때 길이수축때문에 짧게 보여야 하고 이 거리는 지상의 설현과 성소의 사이거리와 같아야 한다. 따라서 구하라가 보는 페인트 자국의 거리는 L보다 커야 한다.


누구의 추론이 맞는가? 틀린 사람은 어디서 잘못을 했는가?


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상황: 지구에서 구하라와 한승연이 서로 반대방향으로  0.6c의 일정한 속력으로 출발하는 은하철도 999에 각각 탔다(처음 가속은 무시한다. 시계는 출발할 때 동일하게 맞춘다). 지구시계로 출발 후 1년이 지났을 때 구하라가 한승연에게 빛을 이용해서 사진을 찍으라고 신호를 보낸다. 한승연이 빛신호를 받는 즉시 사진을 찍어서 구하라에게 보냈을 때 사진 속의 한승연은 지구에서 출발할 때보다 얼마나 더 나이들어 보일까?

한승연 생각: 구하라나 한승연은 지구에 대해서 상대적으로 0.6c 속력으로 움직이고 있으므로 지구시계로 1년이 지난 시점에 동일하게 고유시간간격 만큼 나이를 더 먹게 되고, 한승연이 보기에 구하라는 (속도변환공식에 의해서) 의 속력으로 후퇴하고 있으므로 지구시계로 1년이 지난 시점에서 두 사람의 사이거리는 이다. 따라서 구하라가 보낸 빛이 한승연에 도달했을때 한승연의 나이는 더 들어 보인다.


구하라 생각:  구하라는 자신의 시계로 0.8년 지난 후 빛 신호를 보내고, 보낸 빛이 한승연에 도달하는 시간은 (발사한 빛이 움직인 거리)=(한승연이 처음부터 움직인 거리)

즉, 에서 구하라 시계로 일 때다. 구하라가 보기에 자신의 시계가(구하라의 고유시간) 6.8년을 가리킬 때 상대적으로 15c/17의 속력으로 움직이는 한승연의 시계는(한승연의 고유시간) 시간지연때문에 이 지난 것으로 보인다. 따라서 사진 속에 찍힌 한승연의 나이는 출발 전보다 3.2년 더 들어보일 것이다.


두 사람의 결론이 다르다. 누구의 추론이 맞는가? 틀린 사람은 어디서 잘못을 저질렀는가?




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말과 마차

Physics 2016.02.15 15:26
    마부가 말에게 "이럇"하고 말할 때, 말이 "뉴턴의 제 3법칙에 의하면 내가 수레를 앞으로 당기면 그 반작용으로 수레가 나를 같은 세기 힘으로 뒤로 당겨서 나와 수레가 받는 알짜힘이 0이 되므로 앞으로 가속을 할 수 없다. 따라서 괜히 힘을 쓸 필요가 없지 않을까요" 라고 거부하면 마부는 어떻게 반박을 해야할까?
    가능한 답 중에 하나는 "매를 번다"임...




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초기 가속도는

Physics 2016.02.15 15:05

균일한 줄을 마찰없는 삼각형 모양의 경사면 양쪽에 그림과 같이 걸치게 놓은 후 손을 떼었다. 줄이 처음 움직이는 가속도는 얼마일까? (힌트: 물체가 경사면을 내려가는 가속도는)



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두 개의 사다리꼴 모양으로 생긴 통에 물을 넣고 튜브를 이용해서 연결하여 같은 높이가 되게 만들었다. 

  • A의 물을 가열하여 팽창시키면 튜브를 따라 물이 흐를까? 흐른다면 어느 방향인가?
  • B의 물을 가열하여 팽창시키면 튜브를 따라 물이 흐를까? 흐른다면 어느 방향인가?

단, 통은 팽창하지 않는다고 생각할 수 있다.




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물이 든 비커에 공을 넣으면 수면이 원래보다 올라간다. 물 속에 잠긴 부분의 부피와 파란색 부분의 부피는 항상 같을까?

1. 그렇다

2. 아니다 




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떨어지는 용수철

Physics 2016.02.03 09:15

컵 속에 추가 달린 용수철을 매달았다. 컵을 거꾸로 들었을 때 추가 컵 밖으로 보였다. 이 상태로 컵을 높은 곳에서 떨어뜨리면 컵에 대한 추의 위치는 어떻게 변할까? (공기저항은 무시한다)

1. 추의 위치는 변화없다.

2. 추가 컵 바깥으로 더 나온다.

3. 추가 컵 안쪽으로 들어간다.


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저울의 눈금은?

Physics 2016.02.03 08:48


저울 위에 올려진 비커의 물 속에 손가락을 바닥에 닿지 않게 넣으면 저울의 눈금이 어떻게 변할까?

1. 변하지 않는다.

2. 증가한다.

3. 감소한다.


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돌을 위로 던질 때 최고점까지 올라가는데 걸린 시간과 다시 원래의 위치로 내려오는데 걸리는 시간을 비교하면? 공기의 저항이 있다고 생각하자.

1. 같다.

2. 올리가는데 더 시간이 걸린다.

3. 내려오는데 더 시간이 걸린다.


설명보기


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무게가 다른 3 물체를 연결한 줄을 당길 때 어는 물체가 가장 먼저 땅에서 떨어지는가?


줄을 당겨서 그림처럼 공중에 3 물체가 떠있는 상태로 가만히 있는 것이 가능한가?







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사람이 타고 있는 상자를 도르래를 이용해서 위로 올라가려 할 때 얼마의 힘으로 당겨야 하는가?


1. 사람이 줄을 아래로 당기면 그 힘만큼 줄에 장력(T)이 발생하고 도르래를 통해서 사람이 타고 있는 상자를 위로 당긴다.

2. 사람이 당기는 힘의 반작용은 사람(손)에게 작용하여서 위로 당긴다.

3. 사람과 상자는 같은 가속도로 올라간다(=a)



사람에게 작용하는 힘: 

- 줄을 당기는 힘의 반작용=장력(T):2

- 사람의 무게(Mg):6

- 상자의 바닥이 떠 받치는 힘=수직항력(N):4



상자에게 작용하는 힘:

-줄이 당기는 힘=장력(T):1

-상자의 무게(mg):5

-사람이 상자를 누르는 힘=수직항력의 반작용(N):3



사람-상자가 움직이려면 가속도가 a>=0 이어야 한다.


즉, 자신의 무게와 타고 있는 상자 무게를 더한 값의 절반에 해당하는 힘으로 아래로 당겨야 한다. 

간단하게 생각하면, 사람과 상자를 하나로 취급하면 이 둘을 당기는 힘은 두 줄에 걸리는 장력이 위로 향하고, 사람+상자의 무게는 아래로 향하므로 위로 올라가려면 최소한 위를 향하는 힘이 아래를 향하는 힘보다는 작지 않아야 한다.


같은 무게라도 자신이 당기면 절반의 힘으로 올라갈 수 있지만(a), 다른 사람이 당기면 무게 전체를 들어올려야 한다(b). 그러나, 에너지의 관점에서 보면 이것은 조삼모사일 뿐이다. 왜 그럴까?





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선풍기와 돛단배

Physics 2016.01.30 20:01

돛을 향하도록 배에 설치된 선풍기를 틀면 배는 어느 움직일까?




배가 어느 방향으로 움직이는가를 알아보기 위해서는 배의 운동량의 변화(힘=단위시간당 운동량의 변화량)가 어느 방향으로 이루어졌는가를 보면 된다.

선풍기는 바람(공기덩어리)를 만들어 돛으로 보내고 돛에서 공기덩어리는 돛에서 충돌한 후 원래의 방향과 반대로 움직인다. 이 과정은 연속적으로 일어난다.


1. 바람이 생기는 것은(바람이 배에 대해서 상대적으로 오른쪽으로 움직일만큼 선풍기의 출력이 있어야 효과가 있다) 선풍기가 공기덩어리의 운동량 변화를 일으키는 것을 의미하고(화살표:1), 운동량 변화를 일으키기 위해서는 힘이 필요하므로 공기덩어리에게 선풍기가 힘을 주었음을 의미한다. 

2. 그 반작용으로 선풍기는 왼쪽으로 힘을 받으므로 왼쪽방향으로 배의 운동량 변화(화살표:5)가 생긴다. 

3. 돛에 바람이 부딪히면 돛이 작용하는 힘(돛의 탄성력)에 의해서 운동량의 방향이 변한다(화살표:1에서 화살표:2) 이과정에서 운동량 변화는 왼쪽방향(화살표:3=화살표2-화살표1)으로 만들어진다. 

4. 돛은 바람의 방향을 바꾸는 힘의 반작용에 의해서 추가적인 오른쪽 방향의 운동량 변화(화살표:4)가 생긴다.

5. 배에 생긴 전체운동량(선퐁기+돛+배)의 변화량은 화살표:4와 화살표:5의 합이므로 오른쪽 방향의 알짜운동량의 변화가 있다. 따라서 배는 오른쪽으로 이동한다.

6. 바람의 알짜운동량 변화는 화살표:1과 화살표:3의 합이므로 왼쪽방향임을 알 수 있다. 


*선풍기에서 바람의 생성과 돛에서의 충돌이 동시다발적으로 일어나므로 배가 뒤로 밀렸다가 앞으로 나가는 현상은 없다고 생각할 수 있다.

*이 운동량의 변화는 지상에 정지한 관찰자 기준이다.


유튜브 동영상: 3번 운동량변화(배 입장에선 4번)이 5번보다 크도록 선풍기의 출력과 방향을 잘 조정해야 배가 앞으로 전진할 수 있다.





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Posted by helloktk

원숭이와 바나나

Physics 2016.01.29 12:37

원숭이가 도르래에 걸쳐진 바나나가 매달린 줄을 잡고 있다. 원숭이의 무게와 바나나의 무게는 같아서 처음에는 둘은 가만히 정지해 있는다. 만약 원숭이가 줄을 아래로 당겨서 위로 올라가려는 시도를 한다면(어떻게?: 고정된 줄을 타고 위로 올라가려 할 때 사람은 자신의 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 아래로 당기면 그 반작용으로 위로 올라가는 것처럼) 원숭이의 위치는 (지상기준) 어떻게 변할까?



그런데 이 상황은 줄의 끝(바나나 쪽)이 고정된 상황이 아니다.


예상 답: 


1. 원숭이는 위로 올라간다

2. 원숭이는 제자리에 머문다.

3. 원숭이는 아래로 내려간다. 


1번 선택 이유: 원숭이가 위로 올라가기 위해서는 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 아래로 당겨야 한다. 그 반작용으로 원숭이는 위를 향하는 가속도를 얻는다. 바나나도 같은 크기의 힘을 위로 받으므로 동일한 가속도로 위로 올라간다.


1번 선택하지 않는 이유: 줄의 끝이 고정이 되었으면 자신의 몸무게보다 더 큰 힘으로 줄을 당길 수 있지만 줄의 끝이 고정이 안되어 있으면 자신의 몸무게 이상의 힘을 주면 줄이 아래로 내려가므로 그 반작용을 받을 수 없다(자신의 몸무게 만큼만 주면 반대편에서 같은 무게의 바나나 때문에 줄은 아래로 내려가지 않는다).


2번 선택 이유: 1번을 선택하지 않는 이유처럼 자신의 몸무게 이상의 힘을 줄 수 없을 것이므로 정지할 수 밖에 없다.


2번 선택하지 않는 이유: 줄을 당기면 반대편 바나나는 위로 오르게 된다. 원숭이는 제자리에 가만이 있고 바나나만 제자리에 있으면 각운동량 보존 법칙에 위배된다. 도르래를 기준으로 생각하면 원숭이의 무게와 바나나의 무게는 반대방향의 토크를 만들므로 전체 토크는 없다. 따라서 각운동량은 보존되어야 하므로 바나나만 따로 움직일 수 없다. 바나나가 위로 올라가면 원숭이도 위로 올라가야 각운동량이 보존된다.


3번 선택이유: 원숭이가 줄을 아래로 당기면 바나나가 위로 가속을 할 것이고 따라서 원숭이가 잡고 있는 부분은 아래로 내려갈 수 밖에 없다.


3번 선택하지 않는 이유: 원숭이가 아래로 떨어지기 위해서는 자신의 무게보다 더 큰 힘이 아래로 작용해야 한다(자신의 무게는 바나나의 무게와 상쇄된다). 그런데 자신은 위로 당기므로 결코 아래로 향하는 힘은 자신의 무게 이상의 힘은 만들어지지 않는다.



다음 상황과 비교해 보자: A가 줄을 당기면 A는 앞으로 갈까 그 자리에 있을까 아니면 뒤로 갈까?



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저울의 눈금은?

Physics 2016.01.28 16:19




*안전하려면 줄에 걸리는 장력이 작아야 하고, 줄이 걸린 고리에 작용하는 힘도 작아야 한다.


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관성의 법칙실험

Physics 2016.01.28 00:02

관성의 법칙을 설명할 때 흔히 그림과 같이 줄에 매단 무거운 공을 써서 설명한다. B 줄을 서서히 당기면 위부분인 A 줄이 끊어지고 B 부분을 갑자기 당기면 공의 관성때문에 아랫부분인 B 줄이 끊어진다.


그런데 어느 경우나 줄 B을 당기면 줄 A에 걸리는 장력은 TA = TB + mg 이다. 따라서 A가 항상 먼저 끊어져야 할 것 같은데 실제로는 위의 설명한 것과 같은 결과를 얻는다. 왜 그럴까? 어떤 것을 간과하고 있는가?



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