Geometry & Recognition

물이 가득찬 병을 오른쪽 그림처럼 관이 부착된 마개로 닫는다. 바닥쪽 출구를 열면 물이 흘러나와 관 속의 공기 기둥의 높이가 오른쪽 그림처럼 되었다. 이후 수면의 높이가 어느 구간에 있을 때 출구에서 흘러나오는 물의 속력이 일정할까?

1. 없다
2. A-B 구간
3. A-C 구간
4. B-C 구간

Q. 출구가 B 높이에 만들어져 있었다면 어떻게 될까?

동일한 두 용기에 같은 부피의 수은과 알코올이 들어 있다. 바닥에 동일한 구멍이 생긴다면 어느 쪽이 먼저 비워지는가?

1. 동시에
2. 무거워서 바닥에서 압력이 큰 수은
3. 가벼워서 쉽게 움직일 수 있는 알코올

광원이 후퇴하면서 내는 빛은 관찰자에게는 파장이 길어진 것으로 관찰되고(적색편이), 광원이 접근하면서 내는 빛은 파장이 짧아 보인다(청색편이). 광자의 에너지는 파장에 반비례하므로 도플러 효과는 광자의 에너지가 변했음을 의미한다. 그럼 도플러 효과에서는 에너지가 보존이 안되는 것일까? 아니면 차이나는 에너지는 어떻게 설명할 수 있는가?

보통 베르누이 방정식은 에너지 보존을 써서 유도한다. 에너지 보존식이 뉴턴의 운동방정식에서 나온 결과이므로 베르누이 방정식 또한 운동방정식에서 직접 유도할 수 있다(steady, incompressible, frictionless flow). 유체 입자가 움직이는 경로인 유선 상의 한 지점을 고려하자. 이 지점에서 가속도 벡터는 유선의 접선 방향과 그 지점에서 곡률 중심을 가리키는 법선 방향 성분으로 분해가 가능하다. 유선은 유선의 길이 ($s$)를 매개변수로 써서 표현할 수 있으므로 이를 이용하면 가속도의 접선 성분은 

$$ a_t = \frac{d  |\vec{v}|}{dt}= \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{dv}{ds}{v} = \frac{1}{2} \frac{dv^2}{ds}$$ 

가속도의 법선 성분은 구심가속도이므로 그 지점에서 곡률 반지름이 $R$이면

$$ a_n = \frac{v^2}{R}$$

유선상의 한 지점을 중심으로 하는 부피가 $dV = ds dA$인 미소 박스를 생각하자.

이 미소 박스에 작용하는 접선 방향의 알짜힘은 박스 좌우에서 작용하는 압력의 차이가 만드는 힘과 중력의 접선성분의 합으로 주어진다:

$$\sum F_t  = - P(s+ds/2) dA + P(s-ds/2) dA - \rho g \sin \theta dV = -\Big( \frac{dP}{ds} + \rho g \sin \theta \Big) dV$$

미소 부피 속의 유체 질량이 $dm = \rho dV$이므로 접선 방향의 운동방정식은

$$ -\frac{dP}{ds} -\rho g \sin \theta = \frac{1}{2} \rho \frac{dv^2}{ds} $$

그런데 유체는 비압축성이고, $\sin \theta = dz/ds$이므로 다음과 같이 베르누이 방정식을 얻을 수 있다:

\begin{gather}\frac{d}{ds}\Big( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z \Big) = 0 \\ \text{or}\quad P +\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{const} \end{gather}

법선 방향의 운동방정식도 같은 방법으로 유도할 수 있는데, 법선 방향의 압력 변화를 $dP/dn$이라면

$$\frac{dP}{dn} + \rho \frac{v^2}{R} + \rho g \frac{dz}{dn}=0$$

이 방정식을 사용하기 위해서는 유선의 각 위치에서의 곡률 반지름에 대한 정보가 주어야 한다.

동일한 두 막대 중 A는 벽에 기대어 세우고, B는 바닥에 그대로 세웠다. 아래를 살짝 오른쪽으로 당기면 두 막대는 미끄러지면서 결국 바닥에 닿게 된다. 먼저 바닥에 도달하는 쪽은? 벽과 바닥에서 마찰은 무시할 수 있다.

1. A
2. B
3. 동시에
4. 정보가 부족하다.

힌트: 에너지 관계를 이용하면 쉽게 예측할 수 있다. A는 끝까지 벽에 붙어 있지는 못한다.