시계의 눈금 차이는?

속도 $v$로 달리는 고유길이가 $L$인 열차의 앞과 뒤에 동기화된 시계가 설치되어 있다. 열차 뒤 시계가 0시를 가리킬 때 뒤에서 앞을 향해 빛을 쏜다. 이 빛은 열차 앞쪽 시계가 $L/c$일 때 도착한다. 지상에서 이 실험을 지켜보는 관찰자 관점에서도 빛의 발사 때 뒤쪽 시계와 빛 도착 때 앞 시계의 눈금이 $L/c$만큼 차이가 남을 보여라.

 

힌트: 지상계에서 볼 때 열차 뒤쪽 시계가 0시를 가리킬 때 앞쪽 시계는 $-\frac{vL}{c^2}$를 가리킨다(rear clock ahead effect). 지상계에서 보면 열차의 길이가 $L/\gamma$로 줄어들어 보이므로, 뒤에서 발사된 빛이 앞에 도달하는데 걸리는 시간은 빛과 열차의 상대속도 $c-v$로 줄어든 열차 길이를 가는데 필요한 시간과 같다. 

$$T=\frac{L/\gamma }{c-v}=\frac{L}{\gamma (c-v)}$$

또, 지상에서 볼 때 열차의 시계는 느리게 가므로 빛의 출발-도착에 진행된 (열차 시계의) 시간은

$$T^{\prime }=\frac{1}{\gamma }T=\frac{L}{{\gamma }^2(c-v)}=\frac{L}{c}(1+\beta )(\beta =v/c)$$

따라서 빛을 받았을 때 지상계에서 보이는 열차 앞 시계의 눈금은 

$$T_{\text{front}}^{\prime }=-\frac{vL}{c^2}+\frac{L}{c}(1+\beta )=\frac{L}{c}$$