공이 열차를 가로지르는 데 걸리는 시간은?

$v=c/2$로 달리는 고유길이 $L$인 열차가 있다. 열차 뒤에서 공을 $c/3$로 (열차에 대한 상대속도) 앞쪽을 향해 던진다. 지상 관찰자에게는 공이 열차 앞쪽에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마인가? 공과 같이 움직이는 관찰자가 측정한 시간은 또 얼마일까?

지상관찰자: 지상에서 볼 때 공의 속도는 $u=\frac{\frac{c}{3}+\frac{c}{2}}{1+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}=\frac{5c}{7}$이다. 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_g=L\times \sqrt{1-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}L}{2}$로 보인다. 지상에서 본 공의 상대속도가 $\frac{5c}{7}-\frac{c}{2}=\frac{3c}{14}$이므로 열차 뒤에서 앞까지 가는 데 걸리는 시간은

$$t_g=\frac{L_g}{\frac{3c}{14}}=\frac{7L}{\sqrt{3}c}$$

공과 같이 움직이는 관찰자: 공이 볼 때 열차는 $\frac{c}{3}$로 다가온다. 따라서 공이 보는 열차의 길이는 길이수축에 의해서 $L_b=L\times \sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}L}{3}$. 이를 이용하면 공의 출발-도착에 걸리는 시간은 

$$t_b=\frac{L_b}{\frac{c}{3}}=\frac{2\sqrt{2}L}{c}$$ 또는, 공의 출발-도착이 공과 같이 움직이는 관찰차에게는 동일한 위치에서 일어나므로 지상계와 시간지연을 사용하면

$$t_b=\frac{t_g}{{\gamma }_g}=\frac{7L}{\sqrt{3}c}\times \sqrt{1-{\left(\frac{5}{7}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}L}{c}$$

열차 관성계: 열차 내부에서 보면 열차 길이가 $L$이고 공의 속도가 $c/3$이므로 당연히 뒤에서 앞까지 공이 가는데 걸리는 시간은 $$t_t=\frac{L}{\frac{c}{3}}=\frac{3L}{c}$$

다른 방법으로는 공의 관성계와 시간지연 공식을 사용하면 공에 대해서 열차는 $c/3$으로 다가오므로 

$$t_t=t_b\times \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}}=\frac{3L}{c}$$