균일하게 대전된 반직선의 끝에서 전기장의 방향은 거리에 상관없이 직선과 45도 각을 이룬다(적분계산 없이도 알 수 있다). 이 사실과 가우스 법칙을 이용하면 끝에서 전기장의 세기를 복잡한 적분없이 쉽게 계산할 수 있다. 그림의 반직선에서 수직방향으로 $d$만큼 떨어진 P에서 전기장 세기는? 단, 단위길이당 전하가 $\lambda$이다.
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균일하게 대전된 막대 전하가 있다. 그림에 표시된 위치에서 전기장의 방향($\theta$)는?
직접 적분을 하면 구할 수 있지만 그렇게 하지 않더라도 알 수 있는 방법이 있다.
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Q1: 표면전하밀도 $\sigma_0$로 균일하게 대전된 판(한변 길이= $L$)이 있다. 판의 앞면으로 나오는 전기선속은?
1. $\frac{\sigma_0L^2}{\epsilon_0}$
2. $\frac{\sigma_0L^2}{2\epsilon_0}$
3. $\frac{\sigma_0L^2}{4\epsilon_0}$
풀이: 판을 완전히 감싸는 가우스 곡면을 생각하면 판의 사이드에서 나가는 전기선속은 없으므로(면적=0) 앞면 또는 뒷면으로 절반씩 나간다. 가우스 법칙에 의해서 전체 전기선속은 $\sigma L^2 /\epsilon_0$이므로 앞면으로 나가는 전기선속은
$$\frac{\sigma_0 L^2 }{2\epsilon_0}$$
Q2: 표면전하밀도 $\sigma_0$로 균일하게 대전된 정육면체가 있다(한변 길이=$L$). 5개 면의 전하에 의한 전기력선의 일부는 나머지 한 면을 통과한다. 그 전기선속은 얼마인가? (대칭성과 중첩의 원리를 쓰면 쉽다)
1. $\frac{\sigma_0L^2}{\epsilon_0}$
2. $\frac{\sigma_0L^2}{2\epsilon_0}$
3. $\frac{\sigma_0L^2}{4\epsilon_0}$
풀이: 육면체의 각면에서 밖으로 나가는 전기선속은 그 면의 전하에 의한 전기선속($\Phi_1$)과 나머지 5면의 전하가 만드는 전기선속($\Phi_2$)의 합이다. 각각의 면이 동등하므로, 전체 육면체에서 나가는 전기선속은 $6(\Phi_0 + \Phi_1)$이고, 가우스 법칙에 의해서 이 값은 $6\sigma_0 L^2 / \epsilon_0$와 같다. 따라서 $\Phi_0 + \Phi_1=\sigma_0 L^2 / \epsilon_0$이므로
$$ \Phi_1 = \Phi_0 = \frac{\sigma_0 L^2 }{2\epsilon_0}$$
Q3: 위 정육면체의 한 변이 받는 전기력은? (균일한 전하밀도를 가지는 면이 받는 전기력은 그 면을 통과하는 전기선속과 연관되어 있다)
1. $\frac{\sigma_0^2 L^2}{\epsilon_0}$
2. $\frac{\sigma_0^2 L^2}{2\epsilon_0}$
3. $\frac{\sigma_0^2 L^2}{4\epsilon_0}$
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