Geometry & Recognition

균일한 전하밀도 $\rho >0$을 가지는 전하분포가 있다. 이 분포의 한 지점에서 전기장이 ${\overrightarrow{E}}_c$ 이고, 전위가 $V_c$ 다. 이제 이 지점을 중심으로 구형 영역 내부의 전하를 제거한다. 그러면 이 구형 영역 중심에서의 전기장과 전위는 어떻게 변할까?

• 전기장 세기: 감소한다, 그대로, 커진다.
• 전기장 방향: 변한다, 그래로
• 전위: 감소한다, 그대로, 증가한다.

평행판 축전기가 있다. 두 극판 중심평면상에 있는 외부 한 지점에서 전기장은?

풀이: 

중앙평면에서는 대칭성에 의해서 전기장은  $y$ 성분만 존재한다. 극판전하밀도가 일정할 때,

$$E_y=-2\times \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{upper}}\frac{\sigma dA\sin \theta }{r^2}$$인데 $dA\sin \theta$는 P에서 본 미소면적 $dA$의 정사영이므로 $dA\sin \theta /r^2$은 P에서 본 $dA$의 입체각에 해당한다(정사영은 코사인을 쓰는 것이 좀 더 직관적인데 이렇게 하려면 각도를 극판에 수직한 방향에 대해서 정의하면 된다). 따라서

$$E_y=-\frac{\sigma }{2\pi {ϵ}_0}\mathrm{\Omega }$$

로 쓸 수 있다. $\mathrm{\Omega }$는 P에서 본 위쪽 극판의 입체각이다. 극판에서 멀리 떨어진 지점일 경우(P에서  두 극판 중심까지 거리가 $R$) 

$$\mathrm{\Omega }\approx \frac{A\sin {\theta }_0}{R^2},\tan {\theta }_0=\frac{d/2}{R}\approx \sin {\theta }_0$$이므로

$$E_y\approx -\frac{\sigma Ad}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}=-\frac{p}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}$$여기서 극판 전하에 의한 전기쌍극자 모멘트 $p$는 각 극판을 점전하로 본 근사식 $p\approx \sigma Ad$을 썻다. 이 결과는 극판에서 먼 지점에서는 두 반대 부호의 극판이 만드는 전기쌍극자에 의한 전기장으로 근사됨을 보여준다.

표면전하밀도 $\sigma$ 균일하게 대전된 구면(반지름 $R$)에 작은 구멍을 만들었다. 잘려진 cap의 중앙 P 지점에서 전기장의 세기는?

풀이: 대칭성에 의해서 전기장의 방향은 OP 방향임을 쉽게 알 수 있다. 이 방향 성분은

$$E_x=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{sphere with a hole}}\frac{\sigma dA\hat{r}\cdot \hat{x}}{r^2}$$

$$=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{sphere with a hole}}d\mathrm{\Omega }=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}{\int }_0^{\pi /2-{\theta }_0/2}2\pi \sin \theta d\theta$$

$$=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}2\pi (1-\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{{\theta }_0}{2}))=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}(1-\sin \frac{{\theta }_0}{2})$$

그리고 구멍의 크기가 매우 작은 경우엔 (${\theta }_0\ll 1$)

$$E_x\approx \frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$$로 근사된다. 이 결과는 중첩의 원리를 고려하면 쉽게 이해가 된다. 온전한 구면전하가 표면에 만드는 전기장($E_{\text{whole sphere}}=\sigma /{ϵ}_0$)은 구멍이 있는 구면이 만드는 전기장($E_x$)과 떼어져 나간 작은 조각의 전하가 만드는 전기장($E_{\text{patch}}=\sigma /2{ϵ}_0$)의 합으로 이해하면 구할 수 있다.