대전된 구면에 생긴 구멍 중심에서 전기장의 세기는?

표면전하밀도 $\sigma$ 균일하게 대전된 구면(반지름 $R$)에 작은 구멍을 만들었다. 잘려진 cap의 중앙 P 지점에서 전기장의 세기는?

풀이: 대칭성에 의해서 전기장의 방향은 OP 방향임을 쉽게 알 수 있다. 이 방향 성분은

$$E_x=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{sphere with a hole}}\frac{\sigma dA\hat{r}\cdot \hat{x}}{r^2}$$

$$=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{sphere with a hole}}d\mathrm{\Omega }=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}{\int }_0^{\pi /2-{\theta }_0/2}2\pi \sin \theta d\theta$$

$$=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}2\pi (1-\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{{\theta }_0}{2}))=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}(1-\sin \frac{{\theta }_0}{2})$$

그리고 구멍의 크기가 매우 작은 경우엔 (${\theta }_0\ll 1$)

$$E_x\approx \frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$$로 근사된다. 이 결과는 중첩의 원리를 고려하면 쉽게 이해가 된다. 온전한 구면전하가 표면에 만드는 전기장($E_{\text{whole sphere}}=\sigma /{ϵ}_0$)은 구멍이 있는 구면이 만드는 전기장($E_x$)과 떼어져 나간 작은 조각의 전하가 만드는 전기장($E_{\text{patch}}=\sigma /2{ϵ}_0$)의 합으로 이해하면 구할 수 있다.