대전된 구면에 생긴 구멍 중심에서 전기장의 세기는?

표면전하밀도 $\sigma$ 균일하게 대전된 구면(반지름 $R$)에 작은 구멍을 만들었다. 잘려진 cap의 중앙 P 지점에서 전기장의 세기는?

풀이: 대칭성에 의해서 전기장의 방향은 OP 방향임을 쉽게 알 수 있다. 이 방향 성분은

$$ E_x = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_\text{sphere with a hole} \frac{ \sigma dA  \hat{r} \cdot \hat{x}}{r^2}$$

$$ = \frac{\sigma}{4\pi \epsilon_0} \int_\text{sphere with a hole} d\Omega = \frac{\sigma}{4\pi \epsilon_0} \int_{0} ^{ \pi /2- \theta_0/2} 2\pi \sin \theta d \theta$$

$$ = \frac{\sigma} {4\pi \epsilon_0} 2\pi \left(1- \cos \left(\frac{\pi}{2}- \frac{\theta_0}{2}\right)\right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1-\sin \frac{\theta_0}{2} \right)$$

그리고 구멍의 크기가 매우 작은 경우엔 ($\theta_0 \ll 1$)

$$ E_x \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$로 근사된다. 이 결과는 중첩의 원리를 고려하면 쉽게 이해가 된다. 온전한 구면전하가 표면에 만드는 전기장($E_\text{whole sphere}=\sigma/\epsilon_0$)은 구멍이 있는 구면이 만드는 전기장($E_x$)과 떼어져 나간 작은 조각의 전하가 만드는 전기장($E_\text{patch} = \sigma/2\epsilon_0$)의 합으로 이해하면 구할 수 있다.