Geometry & Recognition

길이 $L$이 막대가 같은 길이의 줄에 그림과 같이 매달려 있다가 운동을 시작한다. 막대와 바닥사이에 마찰은 없다. 막대의 질량중심 속력의 최댓값은?

풀이: 막대 맨 아래쪽은 매끄러지고 줄에 연결된 부분은 회전을 하게 된다. 따라서 막대는 질량중심의 병진운동과 더불어 질량중심에 대한 회전운동 에너지를 가지는데, 역학적 에너지 보존에 의해서 처음 위치에너지와 같아야 한다. 병진운동에너지가 최대가 되는 위치는 회전각속도가 0이 되어야 한다. 막대가 가장 아래로 내려온 위치에서 줄은 수직이 되므로 회전각속도가 0이 되어야 한다(회전을 한다면 줄에 연결된 부분이 더 내려가야 하는데 가장 낮은 위치이므로 불가). 이때 바닥 부분과 줄에 연결된 부분의 속도는 같아지고 이 속도가 질량중심 속도와 같다. 역학적 에너지 보존을 이용하면

$$\mathrm{\Delta }U=mg(\frac{\sqrt{2}-1}{2}L-\frac{\sqrt{2}}{4}L)=\frac{\sqrt{2}-2}{4}mgL$$

$$\mathrm{\Delta }K+\mathrm{\Delta }U=0\to \frac{1}{2}m{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}I\cdot 0^2=\frac{2-\sqrt{2}}{4}mgL$$

$$\to v_{cm}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}gL}$$

이 순간 질량중심의 가속도는? 막대에 대해서 알 수 있는 사실은 막대 top과 bottom의 운동이다. Bottom은 수평운동을 하므로 수평 가속도 성분만 있고, top은 수직과 수평성분을 가질 수 있다. 이 두 지점의 평균이 질량중심의 가속도이고, 이때 막대에 작용하는 힘은 수직성분만 있으므로 top과 bottom의 가속도 수평성분은 서로 반대여야 한다. 따라서 $a_{cm}=\frac{1}{2}{a}_{top,y}$이고, top 수직가속도는 줄에 매달린 원운동의 구심가속도에 해당한다.

$$a_{top,y}=\frac{v_{top}^2}{L}=\frac{v_{cm}^2}{L}\to a_{cm}=\frac{1}{2}{a}_{top,y}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}g$$

이 결과와 운동방정식, 그리고 $y_{cm}=\frac{L}{2}\sin \theta$ 관계를 이용하면 이 순간 줄에 걸리는 장력과 바닥의 수직항력을 계산할 수 있다.

반지름이 $R$인 원판을 회전시킨 후 마찰이 있는 바닥에 놓았다. 원판의 각가속도는?

힌트: 원판을 미소링으로 분해를 한 후 각 링에 작용하는 마찰력에 의한 토크를 계산하자. 반지름 $r$과 $r+dr$ 사이의 링이 만드는 마찰토크는 (원판의 단위면적당 질량=$\sigma$)

$$d\tau =-f_{k}r=-(\mu dmg)r=-\mu (\sigma 2\pi rdr)gr=-2\pi \mu \sigma g{r}^{2}dr$$

이므로 모든 미소링의 기여를 합하면

$$\to \tau =\int d\tau =-2\pi \mu \sigma g{\int }_0^R{r}^{2}dr=-\frac{2\pi }{3}\mu \sigma g{R}^3=-\frac{2}{3}\mu mgR$$

따라서 회전운동 방정식 $\tau =I\alpha$에 적용하면 각가속도는

$$\alpha =-\frac{4\mu }{3}\frac{g}{R}$$

동일한 디스크 두 개의 중심이 가벼운 막대로 연결되어 있고, 앞 디스크는 처음 각속도 ${\omega }_0$로 시계방향 회전을 한다. 이 두 디스크를 바닥에 놓았을 때 앞바퀴와 달리 뒷바퀴에 작용하는 마찰이 충분히 커서 미끄러지지 않고 구르는 운동을 한다. 두 디스크는 처음 질량중심이 오른쪽 가속도를 가지지만 A의 각속도는 감소를 한다. 

1. A에 작용하는 운동마찰력의 방향은 오른쪽: $f_k=\mu mg$
2. B에 작용하는 정지마찰력($f$) 방향은 왼쪽
3. B의 cm에 대한 회전운동(막대의 장력은 토크 기여가 없음): 정지마찰력만 토크에 기여  $$fR=\frac{1}{2}m{R}^2\frac{a}{R}\to f=\frac{m}{2}a$$
4. 계의 수평방향 cm 병진운동(수평방향 외력=마찰력)  $$f_k-f=(m+m)a\to a=\frac{2}{5}\mu g$$
5. 따라서 B에 작용하는 정지마찰력: $f=\frac{1}{5}\mu mg$
6. 바닥의 임의의 한 지점에 대한 각운동량 보존됨을 이용하면(바닥에서 작용하는 수평방향 마찰력은 토크를 만들지 못함) 최종적으로 두 바퀴가 공통으로 회전하는 각속도를 구할 수 있다. $$L_i=L_{A,i}=\frac{m{R}^2}{2}{\omega }_0$$ 같은 각속도로 구르기 시작할 때, 두 바퀴의 질량중심운동과 질량중심축에 대한 회전운동이 각운동량에 기여하므로 $$L_f=\frac{3}{2}m{R}^2\omega \times 2$$ $$\to \omega =\frac{1}{6}{\omega }_0$$