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구르는 캔

Physics/역학 2016. 1. 21. 09:50

주스가 담긴 캔과 그것을 얼린 캔을 동시에 경사면에서 굴릴 때 (미끄러지지 않는다) 먼저 바닥에 도달하는 것은?

일반적인 물체의 운동은 전체가 질량중심과 같은 속도로 움직이는 병진 운동과 질량 중심축에 대한 회전운동의 조합으로 생각할 수 있다. 운동에너지도 이 둘의 합으로 생각할 수 있다. 물체가 미끄러짐이 없이 구를 때 마찰력에 의한 에너지 손실이 없으므로 역학적 에너지가 보존된다.

그냥 액체가 담긴 캔과 그것을 얼린 캔은 운동에서 어떤 차이가 생길까?

https://youtu.be/fjxwYdUJRh0

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실패가 구르는 방향은?

Physics/역학 2016. 1. 20. 00:08

감긴 줄을 그림에 표시된 방향으로 당길 때 실패는 어느 방향으로 구르는가? 물리법칙을 이용해서 설명할 수 있는가? 첫 번째는 명확하다...

[Q1] 두 번째는?

왼쪽
오른쪽
정보 부족

[Q2] 세번째는?

왼쪽
오른쪽
정보 부족

[Q3] 각 경우 마찰력의 방향은?

유튜브 동영상을 볼까요? 동영상을 보면 구르지 않고 끌려오는 경우가 있다. 어떤 조건에서 이러한 현상이 생길까?

https://youtu.be/tFHd8__h1QU

중간 그림: 실패의 회전관성을 $I = γ m R 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>I</mi><mo>=</mo><mi>γ</mi><mi>m</mi><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>$ 이라고 하면 일반적으로 $0 < γ \leq 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>γ</mi><mo>\leq</mo><mn>1</mn></math>$ 이다. 마찰력의 방향이 반드시 중심의 이동과 반대로 작용하지 않으므로 사전에 마찰력의 방향을 바로 결정할 수 없다. 물체가 미끄러짐이 없이 구르는 경우는 다른 방법으로 마찰력을 결정할 수 있는 좋은 방법이 있다. 구르는 경우는 접촉점에 대한 순간적인 회전운동으로도 설명된다. 이 경우 마찰력은 토크에 기여하지 않으므로 실패의 운동식은

$I c o n t a c t α = \sum τ c o n t a c t = T (R - b), (b = radius of inner cyliner) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>I</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>c</mi><mi>t</mi></mrow></msub><mi>α</mi><mo>=</mo><mo data-mjx-texclass="OP">\sum</mo><msub><mi>τ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>c</mi><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mtext>radius of inner cyliner</mtext><mo stretchy="false">)</mo></math>$

따라서 물체의 질량중심 가속도는 $(τ c o n t a c t = (1 + γ) m R 2) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>τ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>c</mi><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>γ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>m</mi><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></math>$

$a=Rα=1−b/R1+γTm<Tm<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>γ</mi></mrow></mfrac><mfrac><mi>T</mi><mi>m</mi></mfrac><mo><</mo><mfrac><mi>T</mi><mi>m</mi></mfrac></math>$

질량중심의 가속도를 결정하는 외력은 장력과 마찰력인데, 장력만 고려할 때 가속도 $Tm<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>T</mi><mi>m</mi></mfrac></math>$ 보다 작으므로 마찰력은 장력과 반대방향이어야 한다.

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누가 더 먼저 떨어지는가?

Physics/역학 2016. 1. 19. 23:37

YoYo에 실을 감고 끝에는 같은 질량의 물체를 묶은 후 가벼운 도르래에 걸쳐 놓았다. 운동을 시작하면 어느 쪽이 먼저 바닥에 도달할까?(요요는 실이 풀리면서 내려간다)

풀이: https://kipl.tistory.com/126의 하단

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