어느 도르래가 동작하는가?

다음의 도르래 구성 중 정상적으로 동작하는 것은?

https://kipl.tistory.com/124 풀이:

고정 도르래의 질량을 무시할 수 있으므로 양쪽 줄의 장력은 같아야 한다: $T$.

따라서 물체와 요요의  질량중심의 운동은 동일해야 한다. $\sum F_y = mg - T=ma~~(\text{내려가는 방향=+})$

즉, 물체와 요요는 동시에 바닥에 닿는다. 물체와 요요가 내려가는 가속도는 얼마인가?

요요의 시계 방향 회전 각가속도가 $\alpha$이면 중심축에 대한 회전 운동 방정식은 $\sum \tau_{cm} = TR = I \alpha$.

물체와 요요의 중심이 내려간 거리의 합은 요요에 감긴 줄이 풀린 길이와 같다: $2y = R\theta$.

이를 두 번 미분하면 $2a = R \alpha$

따라서 $T$, $\alpha$을 소거하면 

$$ a =\frac{g }{1+ 2I /mR^2 }$$

요요에 연결된 줄의 한 지점을 표시하면 이 지점의 가속도는 위쪽으로 왼쪽 물체가 내려가는 가속도 크기를 가진다.