역학적 에너지는 보존되는가?

일정한 속도$(u)$로 달리는 기차 안에 있는 높이 $h$인 경사면이 있다. 경사면의 꼭대기에서 내려오는 물체가 바닥에 도착하기 직전 기차 안의 정지한 관찰자가 보는 속력$(v)$과 지상의 정지한 관찰자가 보는 속력 $w$를 비교해 보자.

 

1. 기차 안의 정지 관찰자;

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2⟶v=\sqrt{2gh}$$

2. 지상의 정지한 관찰자: 처음 물체는 $h$ 높이에서 오른쪽으로 $u$의 속력으로 움직이고 있다가 바닥에 도착하기 직전에는 $w$의 속력으로 가진다. 역학적 에너지 보존을 쓰면

$$mgh+\frac{1}{2}m{u}^2=\frac{1}{2}m{w}^2⟶w=\sqrt{2gh+u^2}$$

3. 그런데 두 관찰자가 보는 물체의 속도가

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

(지상에서 볼 때는 기차 안에서 물체의 속도에 기차 속도가 벡터적으로 더해진다)로 연결되므로 이 식을 이용해서 $w$를 구하면

$$w=|\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}|=\sqrt{v^2+u^2-2uv\cos \theta }=\sqrt{2gh+u^2-2uv\cos \theta }$$

이므로 앞의 결과와 다르다.

 

역학적 에너지 보존법칙은 관찰자에 따라 달라지는가? (그럴 수는 없다) 무엇을 간과하고 있을까? 또, 어느 식이 옳은 식인가? 잘 생각해보면 이유를 알 수 있다.