Geometry & Recognition

두께가 $d$인 유리창 너머로 보이는 벌레까지 거리(겉보기 거리)는 실제 떨어진 거리와 얼마나 차이가 날까? 유리의 굴절률은 $n$이다.

풀이:  벌레($x$)에서 나와서 눈에 들어가는 2개 이상의 광선을 고려하자. 유리창에 수직입사한 빛은 굴절이 없이 그대로 통과하지만 비스듬히 입사하는 광선은 유리창에서 굴절이 된 후 눈에 들어간다. 이때 눈에 들어오는 광선방향의 연장선이 수직입사한 광선과 만나는 지점($x^{\prime }$)에 벌레가 있다고 사람은 인식을 하게 된다. $\theta$의 입사각으로 유리창에 입사한 빛이 ${\theta }^{\prime }$으로 굴절될 때 이 빛은 유리창을 나오면 눈에 $\theta$의 각으로 들어간다. 이 광선의 굴절에 대해 Snell의 법칙을 적용하면 

$$\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$$인데 눈에 들어오는 광선은 $|\theta |,|{\theta }^{\prime }|\ll 1$이므로 (그림은 매우 과장되게 그린 것이다) $\sin \theta \approx \theta$, $\sin {\theta }^{\prime }\approx {\theta }^{\prime }$ 근사할수 있고 스넬의 법칙은$$\theta \approx n{\theta }^{\prime }$$로 쓸 수 있다. 이제 그림에 그려진 기하학적인 관계를 고려하면 (이 경우도 $\tan \theta \approx \theta$, $\tan {\theta }^{\prime }\approx {\theta }^{\prime }$ 근사를 사용할 수 있다)$$h=x^{\prime }\tan \theta$$ $$h=(x-d)\tan \theta +d\tan {\theta }^{\prime }$$

따라서 $$(x-x^{\prime })\theta \approx d(\theta -{\theta }^{\prime })=d(1-\frac{1}{n})\theta$$

$$\to x-x^{\prime }\approx d(1-\frac{1}{n})$$

임을 알 수 있다. 유리가 없는 경우는($n=1$) 당연히 차이가 없고( $x^{\prime }=x$), 유리의 굴절률이 커지면 점차 유리창 두께만큼 차이가 난다.

인간 눈의 시야각은 180도를 넘기 때문에 지상에서 하늘을 보면 (시야를 가리는 방해물이 없다면) 무한히 넗게 보인다. 그럼 잔잔한 호수에 잠수해서 하늘을 쳐다보면 어떻게 보일까? 우리가 물체를 본다는 것은 그 물체에서 나오거나 반사된 빛이 우리 눈으로 들어옴을 의미한다. 그런데 공기 중에서 직선으로 진행하던 빛이 물속으로 들어오면 경로가 꺾이게 된다. 이는 Snell의 법칙으로 기술이 되는데 수면에 수직한 방향에 대해서 ${\theta }_{\text{air}}$으로 공기 중에서 물속으로 들어오는 빛은 ${\theta }_{\text{water}}$만큼 꺾여서 물속에서 진행하는데, 물의 굴절률을 $n_{\text{water}}$라 하면 수식으로는 

$$\sin {\theta }_{\text{air}}=n_{\text{water}}\sin {\theta }_{\text{water}}$$으로 표현된다. 물의 굴절률이 $n_{\text{water}}\approx 1.333$ 정도 이므로 하늘에서 다양한 각도로 수면에 입사해서 사람의 눈에 들어오는 빛을 생각해 보면 항상 ${\theta }_{\text{water}}<{\theta }_{\text{air}}$임으로 알 수 있다. 특히 수면에 거의 나란하게 들어오는 빛(${\theta }_{\text{air}}={90}^{\circ }$)은 물속에서는 

$${\theta }_{\text{water}}={\sin }^{-1}\frac{1}{n_{\text{water}}}\approx {49}^{\circ }$$로 들어오는 것으로 보인다.

사람은 자신의 눈에 들어오는 빛의 방향으로 물체의 위치를 파악하므로 물속에서는 하늘과 지상의 경계가 마치 자신의 눈에는 ${49}^{\circ }$에 있는 것으로 인식하게 된다. 호수가 충분히 넓다면 모든 방향의 수면에 나란하게 들어오는 빛은 ${49}^{\circ }$로 들어오는 것으로 인식하므로 물속에서는 하늘이 둥근 원안에 있는 것으로 보이게 된다. 그 각도 바깥은 수면에서 전반사 현상에 의해서 (충분히 맑은 물이라면) 호수 내부의 모습이 보이게 된다. 눈이 수면에서 $d$만큼 아래에 있다면 하늘은 반지름이

$$R\approx d\tan {49}^{\circ }$$

인 원 내부에 있는 것으로 보일 것이다. 역설적이게도 수면에 가까이 있을수록 하늘이 더 작게 보인다.

광원이 후퇴하면서 내는 빛은 관찰자에게는 파장이 길어진 것으로 관찰되고(적색편이), 광원이 접근하면서 내는 빛은 파장이 짧아 보인다(청색편이). 광자의 에너지는 파장에 반비례하므로 도플러 효과는 광자의 에너지가 변했음을 의미한다. 그럼 도플러 효과에서는 에너지가 보존이 안되는 것일까? 아니면 차이나는 에너지는 어떻게 설명할 수 있는가?