창문 너머로 보이는 벌레는 실제로 얼마나 떨어져 있을까?

두께가 $d$인 유리창 너머로 보이는 벌레까지 거리(겉보기 거리)는 실제 떨어진 거리와 얼마나 차이가 날까? 유리의 굴절률은 $n$이다.

풀이:  벌레($x$)에서 나와서 눈에 들어가는 2개 이상의 광선을 고려하자. 유리창에 수직입사한 빛은 굴절이 없이 그대로 통과하지만 비스듬히 입사하는 광선은 유리창에서 굴절이 된 후 눈에 들어간다. 이때 눈에 들어오는 광선방향의 연장선이 수직입사한 광선과 만나는 지점($x'$)에 벌레가 있다고 사람은 인식을 하게 된다. $\theta$의 입사각으로 유리창에 입사한 빛이 $\theta'$으로 굴절될 때 이 빛은 유리창을 나오면 눈에 $\theta$의 각으로 들어간다. 이 광선의 굴절에 대해 Snell의 법칙을 적용하면 

$$ \sin \theta = n \sin \theta'$$인데 눈에 들어오는 광선은 $|\theta|,~|\theta'| \ll 1$이므로 (그림은 매우 과장되게 그린 것이다) $\sin \theta \approx \theta$, $\sin \theta' \approx \theta'$ 근사할수 있고 스넬의 법칙은$$ \theta \approx n \theta'$$로 쓸 수 있다. 이제 그림에 그려진 기하학적인 관계를 고려하면 (이 경우도 $\tan \theta \approx \theta$, $\tan \theta' \approx \theta'$ 근사를 사용할 수 있다)$$ h = x' \tan \theta$$ $$h = (x-d) \tan \theta +d \tan \theta'$$

따라서 $$ (x-x') \theta \approx d ( \theta - \theta') = d\left( 1 - \frac{1}{n}\right) \theta $$

$$ \to ~~~~x-x' \approx   d \left(1 - \frac{1}{n}\right) $$

임을 알 수 있다. 유리가 없는 경우는($n=1$) 당연히 차이가 없고( $x'=x$), 유리의 굴절률이 커지면 점차 유리창 두께만큼 차이가 난다.