Geometry & Recognition

전자기나 중력에서 Poisson 방정식은 전하나 질량분포가 주어질 때 주변에서 퍼텐셜 함수의 결정하는 방정식이다. 전자기를 기준으로 할 때 전하분포 $\rho(\vec {r})$이 주어진 경우 전기퍼텐션 함수는 

$$ \nabla V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

의 해를 구해서 얻을 수 있다. 물론 적당한 경계조건을 주어야 해가 유일하게 결정이 된다. 원점에 놓인 점전하가 있는 경우 Poisson 방정식은

$$ \nabla^2 V_\text {p} = - \frac {q}{\epsilon_0} \delta (\vec {r})$$

이고 이 방정식의 해는 

$$ V_\text {p } = \frac {q}{4\pi \epsilon_0 r} $$가 된다. 역으로 전위를 알면 전하분포를 Poisson 방정식을 이용해서 좀 더 복잡한 전하분포를 구할 수 있다. 원점에 놓인 전기장 쌍극자가 있는 경우 전위함수는 유한한 거리만큼 떨어진 두 반대부호의 점전하에 대해 극한을 취해서 다음과 같은 점쌍극자(point electric dipole)의 전위함수를 얻을 수 있다. 

$$ V_\text {d} = \frac {1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\vec {p} \cdot \hat{r}}{r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{ \vec{p} \cdot \vec {r}}{r^3}$$ 여기서 $\vec {p}$는 점쌍극자를 특징짓는 쌍극자 모멘트이다. 이 전위함수에 해당하는 전하분포는 어떻게 구할 수 있는가? 우선 양변에 Laplacian을 적용하면 

$$ LHS = \nabla^2  V_\text {d} = -\frac {1}{\epsilon_0} \rho_\text {d}$$

우변은

$$ RHS= \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} p_k \nabla^2 \frac {x_k}{r^3} = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} p_k \nabla^2 \partial _k \left (-  \frac{1}{r}\right)= \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } p_k \partial_k [ 4\pi \delta(\vec {r}) ]$$이므로

$$\to~~  {\rho_\text {d} = -\vec {p} \cdot \nabla \delta(\vec {r})}$$ 

다음 예로 점전기사극자(point electric quadrupole)가 원점에 놓인 경우를 보자. quadrupole moment가 $Q_{ij}$인 경우 점사극자의 전위는 점쌍극자 전위처럼 적절한 극한과정을 거쳐서 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ V_{q} = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} Q_{ij} \frac {3 x_i x_j - r^2\delta_{ij}}{r^5}$$

그런데 

$$\partial_i \partial_j \frac {1}{r} = -\frac {\delta_{ij}}{r^3} +\frac {3 x_i x_j}{r^5} = \frac{3 x_i x_j - r^2 \delta_{ij} }{r^5}$$

이므로 

$$ V_q = \frac {1}{4\pi \epsilon_0} Q_{ij} \partial_ i \partial_j \frac {1}{r}$$

이고 양변에 Laplacian을 취하면

$$ -\frac {1}{\epsilon_0} \rho_q = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} Q_{ij} \partial_i \partial_j \nabla^2 \frac{1}{r} = - \frac{1}{\epsilon_0} Q_{ij} \partial_i \partial_j    \delta(\vec {r}) $$이므로

$$ \rho_q = Q_{ij} \partial_i \partial_j \delta (\vec{r}) $$

접지된 매우 넓은 평행판 축전기 사이에 전기쌍극자를 놓았을 때 양쪽 극판에 유도되는 전하는?

힌트: $\vec {r}_0$에 위치한 전기쌍극자의 전하밀도가

$$ \rho(\vec {r}) = - \vec {p} \cdot \nabla \delta (\vec {r} - \vec {r}_0) $$

로 표현된다는 사실과 Green's reciprocity 정리를 이용하기 하자. 전하구성 1은 $-q $, $+q$의 전하밀도로 대전된 동일한 형태의 축전기가 있을 때 전위차가 $V_0$이면, 전위함수는 $$V_1 (x) = V_0 \frac {x}{d}~~~~0\le x \le d$$전하구성 1의 전하는 극판에 몰려있는데 우리가 구하려는 전하구성 2의 극판에서 전위는 접지로 인해 0이므로 

$$ \sum \int \rho_1 V_2 d^3x =  \int_\text {left_plane} \rho_1 V_2 d^2x + \int_\text {right plane} \rho_1 V_2 d^2x = 0  $$

그에 반해 전하구성 2의 전하는 양극판($\sigma_L$, $\sigma_R$)과 사이의 전기쌍극자($\vec{r}_0 = a\hat {x}$)가 있고, 전하구성 1의 극판 전위는 오른쪽 극판에서 0이 아니므로

$$ \sum \int \rho_2 V_1 d^3x = \int \left[ -\vec {p}\cdot \nabla \delta (\vec {r} - a\hat {x})\right] V_1d^3x + \int_\text {right plane} V_0   \sigma_R d^2x  $$

$$=\vec{p} \cdot \hat {x} \frac {V_0}{d} + V_0 q_R$$

로 주어지므로 

$$q_R = - \frac {\vec {p}\cdot \hat {x}}{d}$$이고 가우스 법칙에 의해서 

$$q_L = +\frac{\vec{p}\cdot \hat {x}}{d}$$임을 알 수 있다. 쌍극자가 두 극판에 유도하는 전하는 극판과의 거리에는 무관하고 쌍극자의 orientation에 따라 달라짐을 알 수 있다. 

도체구를 대전시키면 전하들은 전기적 반발력에 의해서 서로 최대한 멀어지려고 하므로 표면에 균일하게 퍼지게 된다. 그리고 전기장은 도체구 외부에서만 형성된다. 도체구 내부에서는 전기장이 없는데 그 이유를 우선 알아보자. 도체구 내부 한 지점에서 서로 반대방향으로 같은 입체각을 가지는 미소원뿔을 고려하면, 원뿔의 바닥면적은 P에서 거리의 제곱에 비례하므로 바닥에 모인 전하도 마찬가지로 거리의 제곱에 비례한다.

$$\frac{q_1}{q_2}= \frac{A_1}{A_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2 }$$ 그런데 전기장의 세기는 거리의 제곱에 반비례하므로 두 원뿔의 바닥면에 모인 전하가 P점에 만드는 전기장의 세기는 같고 방향은 반대이므로 상쇄된다. 이 과정은 P점을 기준으로 한 모든 미소원뿔 쌍에 대해서 성립하므로 내부에서 전기장은 0임을 쉽게 보일 수 있다.

도체원판에 전하를 주입하면 어떻게 될까? 전기적 반발을 고려하면 원판의 테두리에 모든 전하가 모일 것으로 예상되지만 이 경우 원판 안에서 원판에 나란한 전기장 성분은 사라지지 않는다. 왜냐면 테두리에만 있는 경우 전하분포는 선전하밀도로 표현되고, 2차원인 경우는 원뿔 대신 원호로 대체되는데 원호에 모인 전하는 원호 꼭지점에서 거리에 비례하지만 여전히 전기력은 거리의 제곱에 반비례하므로 서로 반대 원호의 전하가 만드는 전기장은 일반적으로 상쇄될 수 없다. 따라서 대전된 도체원판의 전하는 회전대칭성을 고려하면 원판의 중심에서 거리의 함수로 주어질 것을 예상할 수 있다. 그러면 어떤 분포를 가질까?

우선 원판에 분포한 전하가 만드는 전기장은 원판 내부에서 (원판면에) 수평성분이 없어지도록 분포해야 한다. 도체원판은 도체구를 눌러서 납작하게 만든 극한이라고 생각할 수 있다. 이때 도체구 표면에 균일하게 분포한 전하가 그대로 적도면에 쌓이는 경우를 생각해보자(정사영된 면적은 줄어들지만 전하량은 그대로 유지하는 경우). 이 경우 적도면(원판)에서 전하분포는 균일할 수 없음이 당연하다. 이제 이 전하분포가 적도면에서 전기장의 수평성분을 만들지 않음을 보이자. P에서 정사영된 면적까지의 거리비는 구면까지의 거리비와 같으므로 ( $d_1/d_2 = r_1/r_2$) 전하비가

$$ \frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}= \frac{d_1^2 }{d_2^2}$$

이어서 P점에서 두 정사영된 면적에 있는 전하가 만드는 전기장 수평성분이 상쇄되게 된다.

원판의 중심에서 거리 $r$만큼 떨어진 지점으로 정사영된 미소면적은 $\sin \theta = R /\sqrt{R^2 - r^2}$만큼 줄어들므로 표면전하밀도는 이에 반비례해서 늘어나야 한다.

$$ \sigma(r) = \frac{\text{const}}{ \sqrt{ R^2 - r^2}}$$ 상수는 원판의 총전하를 이용해서 얻을 수 있다. 반지름 $R$인 도체원판에 분포한 총전하가 $Q$일 때 

$$Q = 2\int_0^R  \sigma (r)  2\pi r dr = 4\pi R \times\text{const}$$

$$\to ~~ \sigma(r) = \frac{Q}{4\pi R\sqrt{R^2 - r^2}}$$

이 전하분포가 만드는 전위함수는 Laplace 방정식을 풀거나 전하분포를 적분해서 얻을 수 있다. 쉬운 경우로 $z$ 축에서 전위함수는

$$ V(z) = \frac{2}{4\pi \epsilon_0} \int_0^R \frac{\sigma(r) 2\pi rdr }{\sqrt{r^2 +z^2}} =  \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R} \tan^{-1} \left( \frac{R}{|z|} \right)$$로 계산된다. 그리고 원판의 전위는 $V(z=0)  = \frac{Q}{8\epsilon_0 R}$이고, 따라서 원판의 전기용량은

$$C_\text{disk} = 8 \epsilon_0 R$$