접지된 극판 사이에 놓인 전기쌍극자가 유도하는 전하는?

접지된 매우 넓은 평행판 축전기 사이에 전기쌍극자를 놓았을 때 양쪽 극판에 유도되는 전하는?

힌트: $\vec {r}_0$에 위치한 전기쌍극자의 전하밀도가

$$ \rho(\vec {r}) = - \vec {p} \cdot \nabla \delta (\vec {r} - \vec {r}_0) $$

로 표현된다는 사실과 Green's reciprocity 정리를 이용하기 하자. 전하구성 1은 $-q $, $+q$의 전하밀도로 대전된 동일한 형태의 축전기가 있을 때 전위차가 $V_0$이면, 전위함수는 $$V_1 (x) = V_0 \frac {x}{d}~~~~0\le x \le d$$전하구성 1의 전하는 극판에 몰려있는데 우리가 구하려는 전하구성 2의 극판에서 전위는 접지로 인해 0이므로 

$$ \sum \int \rho_1 V_2 d^3x =  \int_\text {left_plane} \rho_1 V_2 d^2x + \int_\text {right plane} \rho_1 V_2 d^2x = 0  $$

그에 반해 전하구성 2의 전하는 양극판($\sigma_L$, $\sigma_R$)과 사이의 전기쌍극자($\vec{r}_0 = a\hat {x}$)가 있고, 전하구성 1의 극판 전위는 오른쪽 극판에서 0이 아니므로

$$ \sum \int \rho_2 V_1 d^3x = \int \left[ -\vec {p}\cdot \nabla \delta (\vec {r} - a\hat {x})\right] V_1d^3x + \int_\text {right plane} V_0   \sigma_R d^2x  $$

$$=\vec{p} \cdot \hat {x} \frac {V_0}{d} + V_0 q_R$$

로 주어지므로 

$$q_R = - \frac {\vec {p}\cdot \hat {x}}{d}$$이고 가우스 법칙에 의해서 

$$q_L = +\frac{\vec{p}\cdot \hat {x}}{d}$$임을 알 수 있다. 쌍극자가 두 극판에 유도하는 전하는 극판과의 거리에는 무관하고 쌍극자의 orientation에 따라 달라짐을 알 수 있다.