전기사극자의 전하분포

전자기나 중력에서 Poisson 방정식은 전하나 질량분포가 주어질 때 주변에서 퍼텐셜 함수의 결정하는 방정식이다. 전자기를 기준으로 할 때 전하분포 $\rho(\vec {r})$이 주어진 경우 전기퍼텐션 함수는 

$$ \nabla V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

의 해를 구해서 얻을 수 있다. 물론 적당한 경계조건을 주어야 해가 유일하게 결정이 된다. 원점에 놓인 점전하가 있는 경우 Poisson 방정식은

$$ \nabla^2 V_\text {p} = - \frac {q}{\epsilon_0} \delta (\vec {r})$$

이고 이 방정식의 해는 

$$ V_\text {p } = \frac {q}{4\pi \epsilon_0 r} $$가 된다. 역으로 전위를 알면 전하분포를 Poisson 방정식을 이용해서 좀 더 복잡한 전하분포를 구할 수 있다. 원점에 놓인 전기장 쌍극자가 있는 경우 전위함수는 유한한 거리만큼 떨어진 두 반대부호의 점전하에 대해 극한을 취해서 다음과 같은 점쌍극자(point electric dipole)의 전위함수를 얻을 수 있다. 

$$ V_\text {d} = \frac {1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\vec {p} \cdot \hat{r}}{r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{ \vec{p} \cdot \vec {r}}{r^3}$$ 여기서 $\vec {p}$는 점쌍극자를 특징짓는 쌍극자 모멘트이다. 이 전위함수에 해당하는 전하분포는 어떻게 구할 수 있는가? 우선 양변에 Laplacian을 적용하면 

$$ LHS = \nabla^2  V_\text {d} = -\frac {1}{\epsilon_0} \rho_\text {d}$$

우변은

$$ RHS= \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} p_k \nabla^2 \frac {x_k}{r^3} = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} p_k \nabla^2 \partial _k \left (-  \frac{1}{r}\right)= \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } p_k \partial_k [ 4\pi \delta(\vec {r}) ]$$이므로

$$\to~~  {\rho_\text {d} = -\vec {p} \cdot \nabla \delta(\vec {r})}$$ 

다음 예로 점전기사극자(point electric quadrupole)가 원점에 놓인 경우를 보자. quadrupole moment가 $Q_{ij}$인 경우 점사극자의 전위는 점쌍극자 전위처럼 적절한 극한과정을 거쳐서 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ V_{q} = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} Q_{ij} \frac {3 x_i x_j - r^2\delta_{ij}}{r^5}$$

그런데 

$$\partial_i \partial_j \frac {1}{r} = -\frac {\delta_{ij}}{r^3} +\frac {3 x_i x_j}{r^5} = \frac{3 x_i x_j - r^2 \delta_{ij} }{r^5}$$

이므로 

$$ V_q = \frac {1}{4\pi \epsilon_0} Q_{ij} \partial_ i \partial_j \frac {1}{r}$$

이고 양변에 Laplacian을 취하면

$$ -\frac {1}{\epsilon_0} \rho_q = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} Q_{ij} \partial_i \partial_j \nabla^2 \frac{1}{r} = - \frac{1}{\epsilon_0} Q_{ij} \partial_i \partial_j    \delta(\vec {r}) $$이므로

$$ \rho_q = Q_{ij} \partial_i \partial_j \delta (\vec{r}) $$