냉장고를 밀면 넘어질까 아니면 미끄러질까?

바닥에 놓인 냉장고를 밀면 작용한 힘의 크기, 작용 위치 그리고  바닥 상태에 따라 미끄러지거나 또는 넘어진다. 넘어지기 위해서는 얼마의 힘이 필요한가?

미끄러지는 경우는 미는 힘(수평 성분)이 정지 마찰력의 최댓값$(f_{\text{max}})$보다 더 커야 한다.

$$f_{\text{max}}={\mu }_{s}Mg\to F\ge {\mu }_{s}Mg.$$

미끄러지지 않고 넘어지는 경우는 오른쪽 아래를 회전축으로 넘어지는데, 넘어지기 직전에는 마찰력(수평)과 수직항력(수직)은 오른쪽 끝에 몰린다. 이 회전축을 기준으로 하면 냉장고 무게는 반시계 방향 토크를 만들고, 미는 힘은 시계방향을 토크를 만든다(마찰력과 수직항력은 이 회전축에 대해서는 모멘트 팔=0이어서 토크를 만들지 않는다). 미는 힘에 의한 토크가 중력이 만드는 토크보다 더 크면 넘어지게 된다.

 

넘어지기 직전 냉장고의 FBD

$$\sum {\tau }_R=Fd-Mg\frac{W}{2}\ge 0\to F\ge \frac{W}{2d}Mg.$$

 

넘어지기 전에는 물체의 밑면이 바닥에 닿고 있는데 이때 마찰력과 수직항력은 어디에 작용할까?

넘어지기 직전이 아닌 경우는 일반적으로 수직항력(따라서 마찰력)은 바닥 전체 면적에 퍼져서 작용한다. 그렇지만 왼쪽에서 밀면 오른쪽에 더 많이 수직항력이 걸릴 것이다. 이 수직항력이 한 지점에 평균적으로 작용한 것으로 생각할 수 있는데, 그 지점에서 오른쪽 모서리까지 거리를 $x$라면 넘어지기 전에는 $x>0$이 될 것이다. 따라서 넘어지기 전 상황을 고려하면 평형이므로(이 경우엔 수직항력이 토크에 기여한다. 마찰력은 여전히 모멘트 팔=0이어서 기여 없다:어느 지점에 작용하는가를 물어볼 필요가 없다)

$$\sum {\tau }_R=Fd-Mg\frac{W}{2}+Nx=0$$

여기서 넘어지려면 $$x=\frac{\frac{1}{2}MgW-Fd}{N}\le 0$$

이어서 위와 같은 결론을 얻는다.