Pisa의 탑은 얼마쯤 기울어지면 넘어지는가?

현재 피사의 탑은 수직에 대해서 5.5도 정도 기울어져 있다고 한다. 어느 각도까지 넘어지지 않고 견딜 수 있을까? 

간단히 추정하기 위해 탑을 균일한 원통형 기둥으로 생각하면 탑의 무게중심을 지나는 연직선이 탑의 맨 아래 가장자리를 넘어서는 경우에 넘어지게 된다. 왜냐하면 이 경우에 중력이 만드는 넘어지는 토크를 상쇄시킬 방법이 없다. (물론 외부에서 줄로 당기면 된다) 따라서 임계각은 $$ \tan \theta = \frac{D}{H}\quad \Leftrightarrow \quad \theta = \tan^{-1} \frac{D}{H}.$$

 

 

 

피사 탑은 높이가 $\tt H=55m$ 평균 지름이 $\tt D=7m$이므로 임계각은 $\tt 7.25^\circ$ 정도다. 현재 기울어진 각도는 $\tt 5.5^\circ$이다.