막대가 움직이기 시작하는 순간 두 줄의 장력은?

그림과 같이 두 줄로 연결된 막대가 있다. 막대가 운동을 시작하는 순간 두 줄에 걸리는 장력은?

힌트: 막대의 질량중심은 원운동을 하는데 출발속도가 없으므로 처음 가속도는 접선가속도만 존재한다. 수평방향과 수직방향 운동방정식을 쓰면

$$\sum F_x=(T_L+T_R)\cos \theta =ma\sin \theta$$

$$\sum F_y=mg-(T_L+T_R)\sin \theta =ma\cos \theta$$

이므로 이 두식을 풀면

$$a=g\cos \theta$$

$T_L$과 $T_R$이 합으로만 표현되어 있으므로 추가적인 조건이 있어야 한다. 이는 막대가 질량중심에 대한 회전운동이 0이므로 질량중심에 대한 토크가 0이어야 함을 의미한다. 따라서

$$T_L\sin \theta :T_R\sin \theta =2:1\to T_L=2T_R$$

$$T_R=\frac{1}{3}g\sin \theta$$