마찰면에서 회전하는 원판의 각가속도는?

반지름이 $R$인 원판을 회전시킨 후 마찰이 있는 바닥에 놓았다. 원판의 각가속도는?

힌트: 원판을 미소링으로 분해를 한 후 각 링에 작용하는 마찰력에 의한 토크를 계산하자. 반지름 $r$과 $r+dr$ 사이의 링이 만드는 마찰토크는 (원판의 단위면적당 질량=$\sigma$)

$$d\tau =-f_{k}r=-(\mu dmg)r=-\mu (\sigma 2\pi rdr)gr=-2\pi \mu \sigma g{r}^{2}dr$$

이므로 모든 미소링의 기여를 합하면

$$\to \tau =\int d\tau =-2\pi \mu \sigma g{\int }_0^R{r}^{2}dr=-\frac{2\pi }{3}\mu \sigma g{R}^3=-\frac{2}{3}\mu mgR$$

따라서 회전운동 방정식 $\tau =I\alpha$에 적용하면 각가속도는

$$\alpha =-\frac{4\mu }{3}\frac{g}{R}$$